算术漫谈:《周易》卦序与黄金分割(续九)

九数


【正见网2015年11月12日】

南宋算学家杨辉,过去多次出现在我们的漫谈中。他是世界上第一个把洛书九宫图作为算学研究对象的人,由此发展出纵横图的学问。直到今天,在中国乃至世界上,仍然有许多喜爱纵横图的人们。

这篇短文中,九数给大家揭示一个沉潜七百年的奥秘。当年杨辉留下的“易数图”,在《周易》卦序置换的作用下,变化为一个奇异黄金方阵。

需要指出的是,将纵横图与《周易》卦序结合起来,这是大陆研究者十几年来一直在尝试的方向。非常幸运的是,我们终于取得了突破。九数相信,这些同道人一定会在正见网上找到他们所需要的。

(一)《周易》卦序
我们记录通行本《周易》卦序,书分上下二篇。以“上经”与“下经”标记。

上经:乾卦第一,坤卦第二,屯卦第三,蒙卦第四,需卦第五,讼卦第六,师卦第七,比卦第八,小畜第九,履卦第十,泰卦第十一,否卦第十二,同人第十三,大有第十四,谦卦第十五,豫卦第十六,随卦第十七,蛊卦第十八,临卦第十九,观卦第二十,噬嗑第二十一,贲卦第二十二,剥卦第二十三,复卦第二十四,无妄第二十五,大畜第二十六,颐卦第二十七,大过第二十八,坎卦第二十九,离卦第三十。

下经:咸卦第三十一,恒卦第三十二,遯卦第三十三,大壮第三十四,晋卦第三十五,明夷第三十六,家人第三十七,睽卦第三十八,蹇卦第三十九,解卦第四十,损卦第四十一,益卦第四十二,夬卦第四十三,姤卦第四十四,萃卦第四十五,升卦第四十六,困卦第四十七,井卦第四十八,革卦第四十九,鼎卦第五十,震卦第五十一,艮卦第五十二,渐卦第五十三,归妹第五十四,丰卦第五十五,旅卦第五十六,巽卦第五十七,兑卦第五十八,涣卦第五十九,节卦第六十,中孚第六十一,小过第六十二,既济第六十三,未济第六十四。

(二)邵雍方图
北宋理学家邵雍,有先天六十四卦方图传世。
坤卦01,剥卦02,比卦03,观卦04,豫卦05,晋卦06,萃卦07,否卦08;
谦卦09,艮卦10,蹇卦11,渐卦12,小过13,旅卦14,咸卦15,遯卦16;
师卦17,蒙卦18,坎卦19,涣卦20,解卦21,未济22,困卦23,讼卦24;
升卦25,蛊卦26,井卦27,巽卦28,恒卦29,鼎卦30,大过31,姤卦32;
复卦33,颐卦34,屯卦35,益卦36,震卦37,噬嗑38,随卦39,无妄40;
明夷41,贲卦42,既济43,家人44,丰卦45,离卦46,革卦47,同人48;
临卦49,损卦50,节卦51,中孚52,归妹53,睽卦54,兑卦55,履卦56;
泰卦57,大畜58,需卦59,小畜60,大壮61,大有62,夬卦63,乾卦64。

(三)杨辉易数
(1)易数阳图
杨辉留下的纵横图中,有两幅名为易数图,其中一个叫阳图,一个叫阴图。我们这里记录的是阳图。

61,04,03,62,02,63,64,01;
52,13,14,51,15,50,49,16;
45,20,19,46,18,47,48,17;
36,29,30,35,31,34,33,32;
05,60,59,06,58,07,08,57;
12,53,54,11,55,10,09,56;
21,44,43,22,42,23,24,41;
28,37,38,27,39,26,25,40。

(2)三线等和
与洛书相似,这个八行八列的方阵,具有纵、横、斜三线等和的特性。每行八个数的和是260,每列八个数的和是260,对角线上八个数和也是260。
[1]横向计算
第一行,和为61+04+03+62+02+63+64+01=260。
第二行,和为52+13+14+51+15+50+49+16=260。
第三行,和为45+20+19+46+18+47+48+17=260。
第四行,和为36+29+30+35+31+34+33+32=260。
第五行,和为05+60+59+06+58+07+08+57=260。
第六行,和为12+53+54+11+55+10+09+56=260。
第七行,和为21+44+43+22+42+23+24+41=260。
第八行,和为28+37+38+27+39+26+25+40=260。

[2]纵向计算
第一列,和为61+52+45+36+05+12+21+28=260。
第二列,和为04+13+20+29+60+53+44+37=260。
第三列,和为03+14+19+30+59+54+43+38=260。
第四列,和为62+51+46+35+06+11+22+27=260。
第五列,和为02+15+18+31+58+55+42+39=260。
第六列,和为63+50+47+34+07+10+23+26=260。
第七列,和为64+49+48+33+08+09+24+25=260。
第八列,和为01+16+17+32+57+56+41+40=260。

[3]斜向计算
主对角线,和为61+13+19+35+58+10+24+40=260。
副对角线,和为01+49+47+31+06+54+44+28=260。

有兴趣了解南宋算学家杨辉的朋友,可以查阅大陆出版的《中国数学史大系》。

(四)卦象方阵
我们将杨辉易数图中的数字,按照邵雍方图,置换为卦象,得到一个八行八列的卦象方阵。
大壮,观卦,比卦,大有,剥卦,夬卦,乾卦,坤卦;
中孚,小过,旅卦,节卦,咸卦,损卦,临卦,遯卦;
丰卦,涣卦,坎卦,离卦,蒙卦,革卦,同人,师卦;
益卦,恒卦,鼎卦,屯卦,大过,颐卦,复卦,姤卦;
豫卦,小畜,需卦,晋卦,大畜,萃卦,否卦,泰卦;
渐卦,归妹,睽卦,蹇卦,兑卦,艮卦,谦卦,履卦;
解卦,家人,既济,未济,贲卦,困卦,讼卦,明夷;
巽卦,震卦,噬嗑,井卦,随卦,蛊卦,升卦,无妄。

(五)序数方阵
有了卦象方阵,我们将《周易》卦序数字抄写在卦名旁边,得到一个八行八列的序数方阵。
大壮34,观卦20,比卦08,大有14,剥卦23,夬卦43,乾卦01,坤卦02;
中孚61,小过62,旅卦56,节卦60,咸卦31,损卦41,临卦19,遯卦33;
丰卦55,涣卦59,坎卦29,离卦30,蒙卦04,革卦49,同人13,师卦07;
益卦42,恒卦32,鼎卦50,屯卦03,大过28,颐卦27,复卦24,姤卦44;
豫卦16,小畜09,需卦05,晋卦35,大畜26,萃卦45,否卦12,泰卦11;
渐卦53,归妹54,睽卦38,蹇卦39,兑卦58,艮卦52,谦卦15,履卦10;
解卦40,家人37,既济63,未济64,贲卦22,困卦47,讼卦06,明夷36;
巽卦57,震卦51,噬嗑21,井卦48,随卦17,蛊卦18,升卦46,无妄25。

(六)行列求和
有了序数方阵,我们开始计算。
(1)横向计算
第一行,和为34+20+08+14+23+43+01+02=145。
第二行,和为61+62+56+60+31+41+19+33=363。
第三行,和为55+59+29+30+04+49+13+07=246。
第四行,和为42+32+50+03+28+27+24+44=250。
第五行,和为16+09+05+35+26+45+12+11=159。
第六行,和为53+54+38+39+58+52+15+10=319。
第七行,和为40+37+63+64+22+47+06+36=315。
第八行,和为57+51+21+48+17+18+46+25=283。
总和为145+363+246+250+159+319+315+283=2080。

(2)纵向计算
第一列,和为34+61+55+42+16+53+40+57=358。
第二列,和为20+62+59+32+09+54+37+51=324。
第三列,和为08+56+29+50+05+38+63+21=270。
第四列,和为14+60+30+03+35+39+64+48=293。
第五列,和为23+31+04+28+26+58+22+17=209。
第六列,和为43+41+49+27+45+52+47+18=322。
第七列,和为01+19+13+24+12+15+06+46=136。
第八列,和为02+33+07+44+11+10+36+25=168。
总和为358+324+270+293+209+322+136+168=2080。

(七)黄金分割
我们用Ω表示黄金比率,先建立部分与总体之间的关系式,然后解出Ω的值。控制范围为0.617<Ω<0.619。如此,误差一般在千分之一以内。

(1)行的结构
①第一行+第二行+第三行+第四行+第八行=总和×Ω,第一层次黄金分割
验算:第一行+第二行+第三行+第四行+第八行=1287,总和=2080,
解出Ω=1287÷2080=0.6187……

②第五行+第六行+第七行=总和×Ω×Ω,第二层次黄金分割
验算:第五行+第六行+第七行=793,总和=2080,
Ω×Ω=793÷2080=0.3812……
然后开平方,解出Ω=0.6174……

③第一行+第五行=总和×Ω×Ω×Ω×Ω,第四层次黄金分割
验算:第一行+第五行=304,总和=2080,
Ω×Ω×Ω×Ω=304÷2080=0.1461……
然后开四次方,解出Ω=0.6183……

(2)列的结构
①第二列+第四列+第五列+第六列+第七列=总和×Ω,第一层次黄金分割
验算:第二列+第四列+第五列+第六列+第七列=1284,总和=2080,
解出Ω=1284÷2080=0.6173……

②第一列+第三列+第八列=总和×Ω×Ω,第二层次黄金分割
验算:第一列+第三列+第八列=796,总和=2080,
Ω×Ω=796÷2080=0.3826……
然后开平方,解出Ω=0.6186……

③第二列+第八列=总和×Ω×Ω×Ω,第三层次黄金分割
验算:第二列+第八列=492,总和=2080,
Ω×Ω×Ω=492÷2080=0.2365……
然后开立方,解出Ω= 0.6184……

④第七列+第八列=总和×Ω×Ω×Ω×Ω,第四层次黄金分割
验算:第七列+第八列=304,总和=2080,
Ω×Ω×Ω×Ω=304÷2080= 0.1461……
然后开四次方,解出Ω= 0.6183……

依照“续三”中的术语,我们由杨辉易数图变化出的卦象序数方阵,是一个奇异黄金方阵。

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