算术漫谈：洛书.d字与黄金数列

从前古代的时候，大约相当于中国这里的南宋，有一位意大利人叫斐波那契，他写了一本著名的算术书，书里面记载了一个兔子繁殖的问题。由这个问题衍生出了一个有趣的数列――斐波那契数列，如今这个数列从西方到东方已是广为人知。他写下的数列异乎寻常的简单：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……

你看，只是在作加法呢！1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8。继续下去，5+8=13，8+13=21。总之，只要你愿意算，可以永无休止的算下去。这是一个既简单又奥妙的数列。

我们在前面的短文里，已经谈过这个数列隐含着甲子循环的模式。这里，我们继续作点新的思考，将数列的出发点换成任意的数字。
令F[1]=a， F[2]=b，F[n]=F[n-1]+F[n-2]，这里n为从3开始的自然数。
一般来说，有F[n]=xa+yb，这里的系数x，y可以计算出来且只与n有关。接着，我们将x，y换成各自除以10的余数，所得记作f[n]。
则有f[1]=a， f[2]=b，f[n]≡f[n-1]+f[n-2]（mod10）。

（一） 计算结果
计算是枯燥的，我们直接记录结果。为了看的整齐，我们排列成五列十多行的形式。总计收录了六十二个数据。
f[01]=1a+0b，f[02]=0a+1b，f[03]=1a+1b，f[04]=1a+2b，f[05]=2a+3b，
f[06]=3a+5b，f[07]=5a+8b，f[08]=8a+3b，f[09]=3a+1b，f[10]=1a+4b，
f[11]=4a+5b，f[12]=5a+9b，f[13]=9a+4b，f[14]=4a+3b，f[15]=3a+7b，
f[16]=7a+0b，f[17]=0a+7b，f[18]=7a+7b，f[19]=7a+4b，f[20]=4a+1b，
f[21]=1a+5b，f[22]=5a+6b，f[23]=6a+1b，f[24]=1a+7b，f[25]=7a+8b，
f[26]=8a+5b，f[27]=5a+3b，f[28]=3a+8b，f[29]=8a+1b，f[30]=1a+9b，
f[31]=9a+0b，f[32]=0a+9b，f[33]=9a+9b，f[34]=9a+8b，f[35]=8a+7b，
f[36]=7a+5b，f[37]=5a+2b，f[38]=2a+7b，f[39]=7a+9b，f[40]=9a+6b，
f[41]=6a+5b，f[42]=5a+1b，f[43]=1a+6b，f[44]=6a+7b，f[45]=7a+3b，
f[46]=3a+0b，f[47]=0a+3b，f[48]=3a+3b，f[49]=3a+6b，f[50]=6a+9b，
f[51]=9a+5b，f[52]=5a+4b，f[53]=4a+9b，f[54]=9a+3b，f[55]=3a+2b，
f[56]=2a+5b，f[57]=5a+7b，f[58]=7a+2b，f[59]=2a+9b，f[60]=9a+1b，
f[61]=1a+0b，f[62]=0a+1b，……

（二） 六十周期
仔细观察前面的计算结果，我们发现和从前一样，依然不变的是甲子循环模式。为了看的整齐，我们取前面的六十个数据，从新排列成四列十五行的形式。后面将看到，这样排列是有特殊意义的。
f[01]=1a+0b，f[16]=7a+0b，f[31]=9a+0b，f[46]=3a+0b，
f[02]=0a+1b，f[17]=0a+7b，f[32]=0a+9b，f[47]=0a+3b，
f[03]=1a+1b，f[18]=7a+7b，f[33]=9a+9b，f[48]=3a+3b，
f[04]=1a+2b，f[19]=7a+4b，f[34]=9a+8b，f[49]=3a+6b，
f[05]=2a+3b，f[20]=4a+1b，f[35]=8a+7b，f[50]=6a+9b，
f[06]=3a+5b，f[21]=1a+5b，f[36]=7a+5b，f[51]=9a+5b，
f[07]=5a+8b，f[22]=5a+6b，f[37]=5a+2b，f[52]=5a+4b，
f[08]=8a+3b，f[23]=6a+1b，f[38]=2a+7b，f[53]=4a+9b，
f[09]=3a+1b，f[24]=1a+7b，f[39]=7a+9b，f[54]=9a+3b，
f[10]=1a+4b，f[25]=7a+8b，f[40]=9a+6b，f[55]=3a+2b，
f[11]=4a+5b，f[26]=8a+5b，f[41]=6a+5b，f[56]=2a+5b，
f[12]=5a+9b，f[27]=5a+3b，f[42]=5a+1b，f[57]=5a+7b，
f[13]=9a+4b，f[28]=3a+8b，f[43]=1a+6b，f[58]=7a+2b，
f[14]=4a+3b，f[29]=8a+1b，f[44]=6a+7b，f[59]=2a+9b，
f[15]=3a+7b，f[30]=1a+9b，f[45]=7a+3b，f[60]=9a+1b。

（三）洛书模式
四九二
三五七
八一六

我们注意到，上面的数表中，有非常整齐的一组数据：
f[03]=1a+1b，f[18]=7a+7b，f[33]=9a+9b，f[48]=3a+3b。
这里的系数十分有规律，“一→七→九→三”正好是洛书中的数字旋转顺序。经由仔细演算，我们发现这个规律是普遍存在的，可以写成一组同余方程式。
f[n+15] ≡ 7f[n] （mod10）；
f[n+30] ≡ 9f[n] （mod10）；
f[n+45] ≡ 3f[n] （mod10）；
f[n+60] ≡ 1f[n] （mod10）。

图片：洛书.d字

（1）数字排列沿.d字螺旋向内
f[08]=8a+3b，
f[23]=6a+1b，
f[38]=2a+7b，
f[53]=4a+9b；
（2）数字排列沿.d字螺旋向外
f[13]=9a+4b，
f[28]=3a+8b，
f[43]=1a+6b，
f[58]=7a+2b。

这里排列的两组数据，是从前面的六十周期中仔细选择出来的。需要注意的一点是：08→23→38→53，13→28→43→58，这两个序列都是依次增加15。

令人感到非常奇妙的是，这里出现的系数正好遵循洛书的数字排列。看了这个计算结果，我们很自然的想起了古代中国人的话：一六共宗，二七同道，三八为朋，四九为友。

斐波那契数列是非常奇特的一个数列，西方人从中认识到了重要常数――黄金比0.618…，这个数列也因此得名黄金数列。我们从东方古老数术文化的角度，发现这个数列竟然也与八卦与甲子与五行与洛书有关。这样看的话，这个数列的更深意义更丰富内容，还有待未来时代继续发现。