算术漫谈:先天八卦与转盘结构

九数

【正见网2009年04月08日】

前面的短文中,我们谈到过八卦的立体模型,只用一个立方体就可以了。现在回头考虑平面结构,也就是古人所说的先天八卦图。我们将看到,先天八卦实际上是一种转盘结构,非常有趣的是,竟然与黄金数列有紧密连系。

第一节――伏羲画卦

远古,伏羲画卦。在如今的文字记载中,只留下了点滴神话。在传说中,人们知道的越来越少了。

(一)太极生两仪
太极→阳□;
太极→阴■。

(二)两仪生四象
太极→阳□→阳阳□□,老阳;
太极→阳□→阳阴□■,少阴;
太极→阴■→阴阳■□,少阳;
太极→阴■→阴阴■■,老阴。

(三)四象生八卦
太极→阳□→阳阳□□→阳阳阳□□□,乾;
太极→阳□→阳阳□□→阳阳阴□□■,兑;
太极→阳□→阳阴□■→阳阴阳□■□,离;
太极→阳□→阳阴□■→阳阴阴□■■,震;
太极→阴■→阴阳■□→阴阳阳■□□,巽;
太极→阴■→阴阳■□→阴阳阴■□■,坎;
太极→阴■→阴阴■■→阴阴阳■■□,艮;
太极→阴■→阴阴■■→阴阴阴■■■,坤。

(四)先天八卦图
兑,乾,巽
离,◎,坎
震,坤,艮

(五)八卦次序图
天:□■□■□■□■
人:□□■■□□■■
地:□□□□■■■■
卦:乾兑离震巽坎艮坤
序:一二三四五六七八
象:天泽火雷风水山地

第二节――转盘结构

从前莱布尼兹将阳爻看作1,阴爻看作0,这样八卦就转换成了数字。卦爻之阴阳自下而上排列,转换成自左至右的0-1数字。
乾,阳阳阳,111;兑,阳阳阴,110;离,阳阴阳,101;震,阳阴阴,100;
巽,阴阳阳,011;坎,阴阳阴,010;艮,阴阴阳,001;坤,阴阴阴,000。

兑=110,乾=111,巽=011
离=101,太极图,坎=010
震=100,坤=000,艮=001

我们数一数每个卦的阴阳爻数目:
乾□□□,111,三阳爻,零阴爻;兑□□■,110,二阳爻,一阴爻;
离□■□,101,二阳爻,一阴爻;震□■■,100,一阳爻,二阴爻;
巽■□□,011,二阳爻,一阴爻;坎■□■,010,一阳爻,二阴爻;
艮■■□,001,一阳爻,二阴爻;坤■■■,000,零阳爻,三阴爻。

在前面的短文中,我们谈到了斐波那契数列,这是一个非常有趣非常神奇的数列。0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…… 计算公式为:f[n]+f[n+1]=f[n+2],f[1]=0,f[2]=1。(这里n是自然数。)

这个数列中,相邻二项,前项与后项的比值f[n]∶f[n+1],会越来越接近黄金比,也由此得名黄金数列。

(一)黄金数列
我们考虑黄金数列的一般形式:g[n]+g[n+1]=g[n+2],g[1]=a,g[2]=b。
[1]写出数列的各项,依次排列为:
g[1]=a,g[2]=b,g[3]=a+b,g[4]=a+2b,g[5]=2a+3b,g[6]=3a+5b,g[7]=5a+8b,g[8]=8a+13b,g[9]=13a+21b,……
[2]选取前面的八项,改写成如下形式:
1a+0b,0a+1b,1a+1b,1a+2b,2a+3b,3a+5b,5a+8b,8a+13b。
[3]接着从第六项开始,将字母系数超过3的改写为除以3的余数:
1a+0b,0a+1b,1a+1b,1a+2b,2a+3b,3a+2b,2a+2b,2a+1b。
[4]我们得出如下结论:
字母a的系数,依次为1-0-1-1-2-3-2-2;
字母b的系数,依次为0-1-1-2-3-2-2-1。
[5]接着考虑数字与卦序的对映,结论如下。
将字母a的系数理解为阳爻数目:
阳爻数目:一,零,一,一,二,三,二,二;
八卦顺序:震,坤,艮,坎,巽,乾,兑,离。
字母b的系数理解为阴爻数目:
阴爻数目:零,一,一,二,三,二,二,一;
八卦顺序:乾,兑,离,震,坤,艮,坎,巽。

我们采用二元数对(x,y)来记录每卦之阴阳爻数目。其中x表示阳爻数目,y表示阴爻数目。
兑(2,1),乾(3,0),巽(2,1)
离(2,1),(阳 ,阴),坎(1,2)
震(1,2),坤(0,3),艮(1,2)

我们采用序列的记号,定义x[1],x[2],……,x[8]如下:
乾(3,0)=x[1];兑(2,1)=x[2];离(2,1)=x[3];震(1,2)=x[4];
坤(0,3)=x[5];艮(1,2)=x[6];坎(1,2)=x[7];巽(2,1)=x[8]。

兑x[2],乾x[1],巽x[8]
离x[3],太极图,坎x[7]
震x[4],坤x[5],艮x[6]

注意到在圆图排列中可以绕圈子,我们继续定义x[9]=x[1],x[10]=x[2],一般来说有x[n+8]=x[n]。这实际上蕴涵着八周期律。

(二)同余方程

同余现象,古代中国人很早就认识了。在弃九验算法中,所谓弃九,实际就是求取除以九后的余数。比如,世界法轮大法日是5月13日,我们考虑513这个数,其数字和是5+1+3,可以写成513≡5+1+3(模9)。

本文中,我们只考虑一个数除以三的余数,所得余数通常为零一二。如果a和b除以3的余数相同,那么就说a和b模3同余,记作a≡b(模3)。比如3≡0(模3);又如17=3*5+2,38=3*12+2,记作17≡38(模3)。

仔细观察先天八卦的圆图排列,我们发现有如下一些有趣的规律。
[1]相邻二卦x[n]→x[n+1]
同余方程x[n]+x[n+1]≡x[n+2](模3)
乾兑→离x[1]+x[2]≡x[3](模3):(3,0)+(2,1)≡(2,1)(模3);
兑离→震x[2]+x[3]≡x[4](模3):(2,1)+(2,1)≡(1,2)(模3);
离震→坤x[3]+x[4]≡x[5](模3):(2,1)+(1,2)≡(0,3)(模3);
震坤→艮x[4]+x[5]≡x[6](模3):(1,2)+(0,3)≡(1,2)(模3);
坤艮→坎x[5]+x[6]≡x[7](模3):(0,3)+(1,2)≡(1,2)(模3);
艮坎→巽x[6]+x[7]≡x[8](模3):(1,2)+(1,2)≡(2,1)(模3);
坎巽→乾x[7]+x[8]≡x[1](模3):(1,2)+(2,1)≡(3,0)(模3);
巽乾→兑x[8]+x[1]≡x[2](模3):(2,1)+(3,0)≡(2,1)(模3)。
我们看见,黄金数列模三的结果,就是出现八周期。这组算式,是八周期律的直接反映。

[2]间隔一卦x[n]→x[n+2]
同余方程x[n]+x[n+2] ≡x[n+7](模3)
乾离→巽x[1]+x[3] ≡x[8](模3):(3,0)+(2,1)≡(2,1)(模3);
离坤→兑x[3]+x[5] ≡x[2](模3):(2,1)+(0,3)≡(2,1)(模3);
坤坎→震x[5]+x[7] ≡x[4](模3):(0,3)+(1,2)≡(1,2)(模3);
坎乾→艮x[7]+x[1] ≡x[6](模3):(1,2)+(3,0)≡(1,2)(模3);
兑震→乾x[2]+x[4] ≡x[1](模3):(2,1)+(1,2)≡(3,0)(模3);
震艮→离x[4]+x[6] ≡x[3](模3):(1,2)+(1,2)≡(2,1)(模3);
艮巽→坤x[6]+x[8] ≡x[5](模3):(1,2)+(2,1)≡(0,3)(模3);
巽兑→坎x[8]+x[2] ≡x[7](模3):(2,1)+(2,1)≡(1,2)(模3)。
实际在圆周上行走的时候,感觉就象是:向前走二步,然后退三步。原因很简单,x[n+7]=x[n-1]。

[3]间隔二卦x[n]→x[n+3]
同余方程x[n]+x[n+3] ≡x[n+6](模3)
乾震→坎x[1]+x[4] ≡x[7](模3):(3,0)+(1,2)≡(1,2)(模3);
兑坤→巽x[2]+x[5] ≡x[8](模3):(2,1)+(0,3)≡(2,1)(模3);
离艮→乾x[3]+x[6] ≡x[1](模3):(2,1)+(1,2)≡(3,0)(模3);
震坎→兑x[4]+x[7] ≡x[2](模3):(1,2)+(1,2)≡(2,1)(模3);
坤巽→离x[5]+x[8] ≡x[3](模3):(0,3)+(2,1)≡(2,1)(模3);
艮乾→震x[6]+x[1] ≡x[4](模3):(1,2)+(3,0)≡(1,2)(模3);
坎兑→坤x[7]+x[2] ≡x[5](模3):(1,2)+(2,1)≡(0,3)(模3);
巽离→艮x[8]+x[3] ≡x[6](模3):(2,1)+(2,1)≡(1,2)(模3)。
如果将八卦排列在三行三列的九宫格里,中间一格不用,那么我们可以看见,这组算式描述的恰好是按照象棋中马步行走的路线。看来这跳马的步法也挺有趣的呢!

[4]相对二卦x[n]→x[n+4]
同余方程x[n]+x[n+4] ≡0(模3)
乾坤x[1]+x[5] ≡0(模3):(3,0)+(0,3)=(3,3);
兑艮x[2]+x[6] ≡0(模3):(2,1)+(1,2)=(3,3);
离坎x[3]+x[7] ≡0(模3):(2,1)+(1,2)=(3,3);
震巽x[4]+x[8] ≡0(模3):(1,2)+(2,1)=(3,3)。
古人对此的解释是:天地定位,山泽通气,雷风相薄,水火不相射,八卦相错。(《说卦》)从算术上看,这实际是一组互补关系,互补的二卦恰好在相对位置。

第三节――邵雍观物

当年,邵雍对先天八卦和后天八卦的排列程序有着非常简明的观点。下面我们引用《观物外篇》中的二句话,然后作点引申。
【原文】乾坤纵而六子横,易之本也;震兑横而六卦纵,易之用也。
【原文】四正者,乾坤坎离也。观其象无反复之变,所以为正也。

按照邵雍的说法,我们给出二个基本操作:
[1]反序操作:abc←→cba。例如:100←→001。
[2]互补操作:abc←→a’b’c’。这里a’为a的补数,总有 a+a’=1。b’和c’同理。例如:100←→011。

(一)一纵三横
先天八卦
兑乾巽
离◎坎
震坤艮
按照反序操作abc←→cba:
乾111←→111;坤000←→000; 离101←→101;坎010←→010。
乾坤坎离,此四卦反序操作后仍然为自身。
纵:乾111,坤000,互补排列。横:离101,坎010,互补排列。
横:兑110,巽011,反序排列。横:震100,艮001,反序排列。

(二)一横三纵
在二个基本操作的基础上,我们定义合成操作。
[3]反序互补:abc←→c’b’a’。
线路一:从abc开始,先反序操作,得出cba;又互补操作,得出c’b’a’。
线路二:从abc开始,先互补操作,得出a’b’c’;又反序操作,得出c’b’a’。
看一个例子,011,先反序操作得出110,又互补操作得出001。

先天八卦
兑乾巽
离◎坎
震坤艮
横:离101,坎010,反序互补。纵:兑110,震100,反序互补。
纵:乾111,坤000,反序互补。纵:巽011,艮001,反序互补。

后天八卦
巽离坤
震◎兑
艮坎乾
横:震100,兑110,反序互补。 纵:巽011,艮001,反序互补。
纵:离101,坎010,反序互补。 纵:坤000,乾111,反序互补。

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