算术漫谈:《周易》卦序与黄金分割(续十六)

九数


【正见网2015年11月30日】

魏伯阳的生平事迹未见于正史。葛洪的《神仙传》记载,魏伯阳出身高贵,而性好道术,不肯仕宦,闲居养性,时人莫知其所从来。

这篇短文,九数采用魏伯阳所著《周易参同契》的观点,将《周易》卦序作为时间序列。然后,我们作一点关于黄金分割的计算。

(一)《周易》卦序
我们记录通行本《周易》卦序,书分上下二篇。以“上经”与“下经”标记。

上经:乾卦,坤卦,屯卦,蒙卦,需卦,讼卦,师卦,比卦,小畜,履卦,泰卦,否卦,同人,大有,谦卦,豫卦,随卦,蛊卦,临卦,观卦,噬嗑,贲卦,剥卦,复卦,无妄,大畜,颐卦,大过,坎卦,离卦。

下经:咸卦,恒卦,遯卦,大壮,晋卦,明夷,家人,睽卦,蹇卦,解卦,损卦,益卦,夬卦,姤卦,萃卦,升卦,困卦,井卦,革卦,鼎卦,震卦,艮卦,渐卦,归妹,丰卦,旅卦,巽卦,兑卦,涣卦,节卦,中孚,小过,既济,未济。

我们将阳爻(—)换成数字1,阴爻(- -)换成数字0,这样每个卦可以换成一个六位数。我们约定,自初爻至上爻,转换为自首位至末位。假定得出一个六位数abcdef,那么初爻为a,二爻为b,三爻为c,四爻为d,五爻为e,上爻为f。

上经
乾卦111111,坤卦000000,屯卦100010,蒙卦010001,需卦111010,讼卦010111,
师卦010000,比卦000010,小畜111011,履卦110111,泰卦111000,否卦000111,
同人101111,大有111101,谦卦001000,豫卦000100,随卦100110,蛊卦011001,
临卦110000,观卦000011,噬嗑100101,贲卦101001,剥卦000001,复卦100000,
无妄100111,大畜111001,颐卦100001,大过011110,坎卦010010,离卦101101。

下经
咸卦001110,恒卦011100,遯卦001111,大壮111100,晋卦000101,明夷101000,
家人101011,睽卦110101,蹇卦001010,解卦010100,损卦110001,益卦100011,
夬卦111110,姤卦011111,萃卦000110,升卦011000,困卦010110,井卦011010,
革卦101110,鼎卦011101,震卦100100,艮卦001001,渐卦001011,归妹110100,
丰卦101100,旅卦001101,巽卦011011,兑卦110110,涣卦010011,节卦110010,
中孚110011,小过001100,既济101010,未济010101。

(四)二進制数
我们已经将全部的《周易》六十四卦,用六十四个六位数表示出来了。接下来,我们将这些六位数看作是二進制数。实质是将六位数abcdef映射为32a+16b+8c+4d+2e+f,相当于将由数码0与1表示的六位数一律往二進制数映射。

上经
63乾卦,00坤卦,34屯卦,17蒙卦,58需卦,23讼卦,16师卦,02比卦,59小畜,55履卦,
56泰卦,07否卦,47同人,61大有,08谦卦,04豫卦,38随卦,25蛊卦,48临卦,03观卦,
37噬嗑,41贲卦,01剥卦,32复卦,39无妄,57大畜,33颐卦,30大过,18坎卦,45离卦。

下经
14咸卦,28恒卦,15遯卦,60大壮,05晋卦,40明夷,43家人,53睽卦,10蹇卦,20解卦,
49损卦,35益卦,62夬卦,31姤卦,06萃卦,24升卦,22困卦,26井卦,46革卦,29鼎卦,
36震卦,09艮卦,11渐卦,52归妹,44丰卦,13旅卦,27巽卦,54兑卦,19涣卦,50节卦,
51中孚,12小过,42既济,21未济。

(三)周天循环
魏伯阳在《周易参同契》中将乾坤坎离四卦隐去,以其余的六十卦作为计时单元。
《周易参同契》原文如下:
月节有五六,经纬奉日使,兼并为六十,刚柔有表里。
朔旦屯直事,至暮蒙当受,昼夜各一卦,用之依次序。

第一天:白昼34屯卦,黑夜17蒙卦,卦数和为x[01]=34+17=51
第二天:白昼58需卦,黑夜23讼卦,卦数和为x[02]=58+23=81
第三天:白昼16师卦,黑夜02比卦,卦数和为x[03]=16+02=18
第四天:白昼59小畜,黑夜55履卦,卦数和为x[04]=59+55=114
第五天:白昼56泰卦,黑夜07否卦,卦数和为x[05]=56+07=63
第六天:白昼47同人,黑夜61大有,卦数和为x[06]=47+61=108
第七天:白昼08谦卦,黑夜04豫卦,卦数和为x[07]=08+04=12
第八天:白昼38随卦,黑夜25蛊卦,卦数和为x[08]=38+25=63
第九天:白昼48临卦,黑夜03观卦,卦数和为x[09]=48+03=51
第十天:白昼37噬嗑,黑夜41贲卦,卦数和为x[10]=37+41=78
第十一天:白昼01剥卦,黑夜32复卦,卦数和为x[11]=01+32=33
第十二天:白昼39无妄,黑夜57大畜,卦数和为x[12]=39+57=96
第十三天:白昼33颐卦,黑夜30大过,卦数和为x[13]=33+30=63
第十四天:白昼14咸卦,黑夜28恒卦,卦数和为x[14]=14+28=42
第十五天:白昼15遯卦,黑夜60大壮,卦数和为x[15]=15+60=75
第十六天:白昼05晋卦,黑夜40明夷,卦数和为x[16]=05+40=45
第十七天:白昼43家人,黑夜53睽卦,卦数和为x[17]=43+53=96
第十八天:白昼10蹇卦,黑夜20解卦,卦数和为x[18]=10+20=30
第十九天:白昼49损卦,黑夜35益卦,卦数和为x[19]=49+35=84
第二十天:白昼62夬卦,黑夜31姤卦,卦数和为x[20]=62+31=93
第二十一天:白昼06萃卦,黑夜24升卦,卦数和为x[21]=06+24=30
第二十二天:白昼22困卦,黑夜26井卦,卦数和为x[22]=22+26=48
第二十三天:白昼46革卦,黑夜29鼎卦,卦数和为x[23]=46+29=75
第二十四天:白昼36震卦,黑夜09艮卦,卦数和为x[24]=36+09=45
第二十五天:白昼11渐卦,黑夜52归妹,卦数和为x[25]=11+52=63
第二十六天:白昼44丰卦,黑夜13旅卦,卦数和为x[26]=44+13=57
第二十七天:白昼27巽卦,黑夜54兑卦,卦数和为x[27]=27+54=81
第二十八天:白昼19涣卦,黑夜50节卦,卦数和为x[28]=19+50=69
第二十九天:白昼51中孚,黑夜12小过,卦数和为x[29]=51+12=63
第三十天:白昼42既济,黑夜21未济,卦数和为x[30]=42+21=63

我们计算每天昼夜配卦的数字之和,得到了一个包含30项的数列。
x[01]=51,x[02]=81,x[03]=18,x[04]=114,x[05]=63,x[06]=108,x[07]=12,x[08]=63,
x[09]=51,x[10]=78,x[11]=33,x[12]=96,x[13]=63,x[14]=42,x[15]=75,x[16]=45,
x[17]=96,x[18]=30,x[19]=84,x[20]=93,x[21]=30,x[22]=48,x[23]=75,x[24]=45,
x[25]=63,x[26]=57,x[27]=81,x[28]=69,x[29]=63,x[30]=63。

计算可知,这三十个数的和为1890。
x[01]+x[02]+x[03]+……+x[29]+x[30]
=51+81+18+……+63+63
=1890
一个简单的想法是,去掉乾坤坎离之和的六十卦,可以按照卦象互补的原则,划分为三十对,每对之和均为六十三。1890=63×30。

(四)甲子配卦
接下来,我们从六十甲子的角度看问题。由于魏伯阳只取六十卦为用,在数目上正好是甲子循环之数。我们考虑将卦象与甲子匹配,按照自然顺序建立一一映射。

甲子→屯卦,乙丑→蒙卦,丙寅→需卦,丁卯→讼卦,戊辰→师卦,己巳→比卦,
庚午→小畜,辛未→履卦,壬申→泰卦,癸酉→否卦,甲戌→同人,乙亥→大有,
丙子→谦卦,丁丑→豫卦,戊寅→随卦,己卯→蛊卦,庚辰→临卦,辛巳→观卦,
壬午→噬嗑,癸未→贲卦,甲申→剥卦,乙酉→复卦,丙戌→无妄,丁亥→大畜,
戊子→颐卦,己丑→大过。庚寅→咸卦,辛卯→恒卦,壬辰→遯卦,癸巳→大壮,
甲午→晋卦,乙未→明夷,丙申→家人,丁酉→睽卦,戊戌→蹇卦,己亥→解卦,
庚子→损卦,辛丑→益卦,壬寅→夬卦,癸卯→姤卦,甲辰→萃卦,乙巳→升卦,
丙午→困卦,丁未→井卦,戊申→革卦,己酉→鼎卦,庚戌→震卦,辛亥→艮卦,
壬子→渐卦,癸丑→归妹,甲寅→丰卦,乙卯→旅卦,丙辰→巽卦,丁巳→兑卦,
戊午→涣卦,己未→节卦,庚申→中孚,辛酉→小过,壬戌→既济,癸亥→未济。

(五)天干聚类
[1]天干列表
【甲】甲子→34屯卦,甲戌→47同人,甲申→01剥卦,甲午→05晋卦,甲辰→06萃卦,甲寅→44丰卦,
【乙】乙丑→17蒙卦,乙亥→61大有,乙酉→32复卦,乙未→40明夷,乙巳→24升卦,乙卯→13旅卦,
【丙】丙寅→58需卦,丙子→08谦卦,丙戌→39无妄,丙申→43家人,丙午→22困卦,丙辰→27巽卦,
【丁】丁卯→23讼卦,丁丑→04豫卦,丁亥→57大畜,丁酉→53睽卦,丁未→26井卦,丁巳→54兑卦,
【戊】戊辰→16师卦,戊寅→38随卦,戊子→33颐卦,戊戌→10蹇卦,戊申→46革卦,戊午→19涣卦,
【己】己巳→02比卦,己卯→25蛊卦,己丑→30大过,己亥→20解卦,己酉→29鼎卦,己未→50节卦,
【庚】庚午→59小畜,庚辰→48临卦,庚寅→14咸卦,庚子→49损卦,庚戌→36震卦,庚申→51中孚,
【辛】辛未→55履卦,辛巳→03观卦,辛卯→28恒卦,辛丑→35益卦,辛亥→09艮卦,辛酉→12小过,
【壬】壬申→56泰卦,壬午→37噬嗑,壬辰→15遯卦,壬寅→62夬卦,壬子→11渐卦,壬戌→42既济,
【癸】癸酉→07否卦,癸未→41贲卦,癸巳→60大壮,癸卯→31姤卦,癸丑→52归妹,癸亥→21未济。

[2]归类求和
甲=甲子+甲戌+甲申+甲午+甲辰+甲寅=34+47+01+05+06+44=137
乙=乙丑+乙亥+乙酉+乙未+乙巳+乙卯=17+61+32+40+24+13=187
丙=丙寅+丙子+丙戌+丙申+丙午+丙辰=58+08+39+43+22+27=197
丁=丁卯+丁丑+丁亥+丁酉+丁未+丁巳=23+04+57+53+26+54=217
戊=戊辰+戊寅+戊子+戊戌+戊申+戊午=16+38+33+10+46+19=162
己=己巳+己卯+己丑+己亥+己酉+己未=02+25+30+20+29+50=156
庚=庚午+庚辰+庚寅+庚子+庚戌+庚申=59+48+14+49+36+51=257
辛=辛未+辛巳+辛卯+辛丑+辛亥+辛酉=55+03+28+35+09+12=142
壬=壬申+壬午+壬辰+壬寅+壬子+壬戌=56+37+15+62+11+42=223
癸=癸酉+癸未+癸巳+癸卯+癸丑+癸亥=07+41+60+31+52+21=212

[3]黄金分割
我们用Ω表示黄金比率,先建立部分与总体之间的关系式,然后解出Ω的值。控制范围为0.617<Ω<0.619。如此,误差一般在千分之一以内。
①丙+丁+戊+己+壬+癸=总和×Ω,第一层次黄金分割
验算:丙+丁+戊+己+壬+癸=197+217+162+156+223+212=1167,总和=1890,
解出Ω=1167÷1890=0.6174……

②甲+乙+庚+辛=总和×Ω×Ω,第二层次黄金分割
验算:甲+乙+庚+辛=137+187+257+142=723,总和=1890,
Ω×Ω=723÷1890=0.3825……
然后开平方,解出Ω=0.6184……

③壬=总和×Ω×Ω×Ω÷2,第三层次黄金分割
验算:壬=223,总和=1890,
Ω×Ω×Ω=223×2÷1890=0.2359……
然后开立方,解出Ω=0.6179……
这一组,精度极高。

④甲=总和×Ω×Ω×Ω×Ω÷2,第四层次黄金分割
验算:甲=137,总和=1890,
Ω×Ω×Ω×Ω=137×2÷1890=0.1449……
然后开四次方,解出Ω=0.6170……

(六)地支聚类
[1]地支列表
【子】甲子→34屯卦,丙子→08谦卦,戊子→33颐卦,庚子→49损卦,壬子→11渐卦,
【丑】乙丑→17蒙卦,丁丑→04豫卦,己丑→30大过,辛丑→35益卦,癸丑→52归妹,
【寅】丙寅→58需卦,戊寅→38随卦,庚寅→14咸卦,壬寅→62夬卦,甲寅→44丰卦,
【卯】丁卯→23讼卦,己卯→25蛊卦,辛卯→28恒卦,癸卯→31姤卦,乙卯→13旅卦,
【辰】戊辰→16师卦,庚辰→48临卦,壬辰→15遯卦,甲辰→06萃卦,丙辰→27巽卦,
【巳】己巳→02比卦,辛巳→03观卦,癸巳→60大壮,乙巳→24升卦,丁巳→54兑卦,
【午】庚午→59小畜,壬午→37噬嗑,甲午→05晋卦,丙午→22困卦,戊午→19涣卦,
【未】辛未→55履卦,癸未→41贲卦,乙未→40明夷,丁未→26井卦,己未→50节卦,
【申】壬申→56泰卦,甲申→01剥卦,丙申→43家人,戊申→46革卦,庚申→51中孚,
【酉】癸酉→07否卦,乙酉→32复卦,丁酉→53睽卦,己酉→29鼎卦,辛酉→12小过,
【戌】甲戌→47同人,丙戌→39无妄,戊戌→10蹇卦,庚戌→36震卦,壬戌→42既济,
【亥】乙亥→61大有,丁亥→57大畜,己亥→20解卦,辛亥→09艮卦,癸亥→21未济。

[2]归类求和
子=甲子+丙子+戊子+庚子+壬子=34+08+33+49+11=135
丑=乙丑+丁丑+己丑+辛丑+癸丑=17+04+30+35+52=138
寅=丙寅+戊寅+庚寅+壬寅+甲寅=58+38+14+62+44=216
卯=丁卯+己卯+辛卯+癸卯+乙卯=23+25+28+31+13=120
辰=戊辰+庚辰+壬辰+甲辰+丙辰=16+48+15+06+27=112
巳=己巳+辛巳+癸巳+乙巳+丁巳=02+03+60+24+54=143
午=庚午+壬午+甲午+丙午+戊午=59+37+05+22+19=142
未=辛未+癸未+乙未+丁未+己未=55+41+40+26+50=212
申=壬申+甲申+丙申+戊申+庚申=56+01+43+46+51=197
酉=癸酉+乙酉+丁酉+己酉+辛酉=07+32+53+29+12=133
戌=甲戌+丙戌+戊戌+庚戌+壬戌=47+39+10+36+42=174
亥=乙亥+丁亥+己亥+辛亥+癸亥=61+57+20+09+21=168

请仔细看《周易参同契》中魏伯阳的话,“朔旦屯直事,至暮蒙当受”。
据此,我们指出一个有趣的时间现象,旦暮均衡。
寅+卯+辰+巳+午+未=申+酉+戌+亥+子+丑
寅+卯+辰+巳+午+未=216+120+112+143+142+212=945
申+酉+戌+亥+子+丑=197+133+174+168+135+138=945

[3]黄金分割
我们用Ω表示黄金比率,先建立部分与总体之间的关系式,然后解出Ω的值。控制范围为0.617<Ω<0.619。如此,误差一般在千分之一以内。
①子+丑+辰+巳+午+申+酉+亥=总和×Ω,第一层次黄金分割
验算:子+丑+辰+巳+午+申+酉+亥=135+138+112+143+142+197+133+168=1168,总和=1890,
解出Ω=1168÷1890=0.6179……

②子+寅+卯+巳+未+戌+亥=总和×Ω,第一层次黄金分割
验算:子+寅+卯+巳+未+戌+亥=135+216+120+143+212+174+168=1168,总和=1890,
解出Ω=1168÷1890=0.6179……

③寅+卯+未+戌=总和×Ω×Ω,第二层次黄金分割
验算:寅+卯+未+戌=216+120+212+174=722,总和=1890,
Ω×Ω=722÷1890=0.3820……
然后开平方,解出Ω=0.6180……

④丑+辰+午+申+酉=总和×Ω×Ω,第二层次黄金分割
验算:丑+辰+午+申+酉=138+112+142+197+133=722,总和=1890,
Ω×Ω=722÷1890=0.3820……
然后开平方,解出Ω=0.6180……

⑤子+巳+亥=总和×Ω×Ω×Ω,第三层次黄金分割
验算:子+巳+亥=135+143+168=446,总和=1890,
Ω×Ω×Ω=446÷1890=0.2359……
然后开立方,解出Ω=0.6179……

⑥子+丑+辰+午+申+亥=总和×Ω×Ω×Ω×2,第三层次黄金分割
验算:子+丑+辰+午+申+亥=135+138+112+142+197+168=892,总和=1890,
Ω×Ω×Ω=892÷2÷1890=0.2359……
然后开立方,解出Ω=0.6179……

⑦巳+酉=丑+丑=总和×Ω×Ω×Ω×Ω,第四层次黄金分割
验算:巳+酉=143+133=276,丑+丑=138+138=276,总和=1890,
Ω×Ω×Ω×Ω=276÷1890=0.1460……
然后开四次方,解出Ω=0.6181……

(七)五行纳音
[1]甲子纳音
甲子乙丑金,丙寅丁卯火,戊辰己巳木,庚午辛未土,壬申癸酉金,
甲戌乙亥火,丙子丁丑水,戊寅己卯土,庚辰辛巳金,壬午癸未木,
甲申乙酉水,丙戌丁亥土,戊子己丑火,庚寅辛卯木,壬辰癸巳水,
甲午乙未金,丙申丁酉火,戊戌己亥木,庚子辛丑土,壬寅癸卯金,
甲辰乙巳火,丙午丁未水,戊申己酉土,庚戌辛亥金,壬子癸丑木,
甲寅乙卯水,丙辰丁巳土,戊午己未火,庚申辛酉木,壬戌癸亥水。
[2]纳音归类
金x[01]=51,火x[02]=81,木x[03]=18,土x[04]=114,金x[05]=63,
火x[06]=108,水x[07]=12,土x[08]=63,金x[09]=51,木x[10]=78,
水x[11]=33,土x[12]=96,火x[13]=63,木x[14]=42,水x[15]=75,
金x[16]=45,火x[17]=96,木x[18]=30,土x[19]=84,金x[20]=93,
火x[21]=30,水x[22]=48,土x[23]=75,金x[24]=45,木x[25]=63,
水x[26]=57,土x[27]=81,火x[28]=69,木x[29]=63,水x[30]=63。

①纳音土,和数为x[04]+x[08]+x[12]+x[19]+x[23]+x[27]=114+63+96+84+75+81=513
②纳音金,和数为x[01]+x[05]+x[09]+x[16]+x[20]+x[24]=51+63+51+45+93+45=348
③纳音水,和数为x[07]+x[11]+x[15]+x[22]+x[26]+x[30]=12+33+75+48+57+63=288
④纳音木,和数为x[03]+x[10]+x[14]+x[18]+x[25]+x[29]=18+78+42+30+63+63=294
⑤纳音火,和数为x[02]+x[06]+x[13]+x[17]+x[21]+x[28]=81+108+63+96+30+69=447

[3]黄金分割
我们用Ω表示黄金比率,先建立部分与总体之间的关系式,然后解出Ω的值。控制范围为0.617<Ω<0.619。如此,误差一般在千分之一以内。
①土+金+水+木=总和×Ω×Ω×2,第二层次黄金分割
验算:土+金+水+木=513+348+288+294=1443,总和=1890,
Ω×Ω=1443÷2÷1890=0.3817……
然后开平方,解出Ω=0.6178……

②火=总和×Ω×Ω×Ω,第三层次黄金分割
验算:火=447,总和=1890,
Ω×Ω×Ω=447÷1890=0.2365……
然后开立方,解出Ω=0.6184……

通过计算,我们注意到,五行纳音是一种构造非常独特的术数模型。
如果用兔子数列描述,我们这里计算的黄金比率,大体近似为13:21,21:34,34:55,55:89,89:144。从精度而言,关于地支的计算最优,与黄金比率Ω=0.6180339……比较,误差控制最好者小于万分之一。

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