算术漫谈:《周易》卦序与黄金分割(续十)

九数


【正见网2015年11月13日】

数年前,九数遇到一位同修,他告诉我《周易》卦序蕴藏着周文王的真传家学。

我们在前面的“续八”中说过,后天卦序与先天卦序,具有奇妙的对偶特性。

这篇短文中,九数以南宋杨辉留下的“易数图”为典范,说明卦序置换的对偶作用。
【1】“续九”中,杨辉易数图→代入后天卦序→卦象方阵→代入先天卦序→黄金分割
【2】“续十”中,杨辉易数图→代入先天卦序→卦象方阵→代入后天卦序→黄金分割

(一)《周易》卦序
我们记录通行本《周易》卦序,书分上下二篇。以“上经”与“下经”标记。

上经:乾卦第一,坤卦第二,屯卦第三,蒙卦第四,需卦第五,讼卦第六,师卦第七,比卦第八,小畜第九,履卦第十,泰卦第十一,否卦第十二,同人第十三,大有第十四,谦卦第十五,豫卦第十六,随卦第十七,蛊卦第十八,临卦第十九,观卦第二十,噬嗑第二十一,贲卦第二十二,剥卦第二十三,复卦第二十四,无妄第二十五,大畜第二十六,颐卦第二十七,大过第二十八,坎卦第二十九,离卦第三十。

下经:咸卦第三十一,恒卦第三十二,遯卦第三十三,大壮第三十四,晋卦第三十五,明夷第三十六,家人第三十七,睽卦第三十八,蹇卦第三十九,解卦第四十,损卦第四十一,益卦第四十二,夬卦第四十三,姤卦第四十四,萃卦第四十五,升卦第四十六,困卦第四十七,井卦第四十八,革卦第四十九,鼎卦第五十,震卦第五十一,艮卦第五十二,渐卦第五十三,归妹第五十四,丰卦第五十五,旅卦第五十六,巽卦第五十七,兑卦第五十八,涣卦第五十九,节卦第六十,中孚第六十一,小过第六十二,既济第六十三,未济第六十四。

(二)邵雍方图
北宋理学家邵雍,有先天六十四卦方图传世。
坤卦01,剥卦02,比卦03,观卦04,豫卦05,晋卦06,萃卦07,否卦08;
谦卦09,艮卦10,蹇卦11,渐卦12,小过13,旅卦14,咸卦15,遯卦16;
师卦17,蒙卦18,坎卦19,涣卦20,解卦21,未济22,困卦23,讼卦24;
升卦25,蛊卦26,井卦27,巽卦28,恒卦29,鼎卦30,大过31,姤卦32;
复卦33,颐卦34,屯卦35,益卦36,震卦37,噬嗑38,随卦39,无妄40;
明夷41,贲卦42,既济43,家人44,丰卦45,离卦46,革卦47,同人48;
临卦49,损卦50,节卦51,中孚52,归妹53,睽卦54,兑卦55,履卦56;
泰卦57,大畜58,需卦59,小畜60,大壮61,大有62,夬卦63,乾卦64。

(三)杨辉易数
南宋算学家杨辉,留下的纵横图中,有两幅名为易数图,其中一个叫阳图,一个叫阴图。我们这里记录的是阳图。

61,04,03,62,02,63,64,01;
52,13,14,51,15,50,49,16;
45,20,19,46,18,47,48,17;
36,29,30,35,31,34,33,32;
05,60,59,06,58,07,08,57;
12,53,54,11,55,10,09,56;
21,44,43,22,42,23,24,41;
28,37,38,27,39,26,25,40。

与洛书相似,这个八行八列的方阵,具有纵、横、斜三线等和的特性。每行八个数的和是260,每列八个数的和是260,对角线上八个数和也是260。

(四)卦象方阵
我们将杨辉易数图中的数字,按照《周易》卦序,置换为卦象,得到一个八行八列的卦象方阵。
中孚,蒙卦,屯卦,小过,坤卦,既济,未济,乾卦;
艮卦,同人,大有,震卦,谦卦,鼎卦,革卦,豫卦;
萃卦,观卦,临卦,升卦,蛊卦,困卦,井卦,随卦;
明夷,坎卦,离卦,晋卦,咸卦,大壮,遯卦,恒卦;
需卦,节卦,涣卦,讼卦,兑卦,师卦,比卦,巽卦;
否卦,渐卦,归妹,泰卦,丰卦,履卦,小畜,旅卦;
噬嗑,姤卦,夬卦,贲卦,益卦,剥卦,复卦,损卦;
大过,家人,睽卦,颐卦,蹇卦,大畜,无妄,解卦。

(五)序数方阵
有了卦象方阵,我们将邵雍方图中的数字抄写在卦名旁边,得到一个八行八列的序数方阵。
中孚52,蒙卦18,屯卦35,小过13,坤卦01,既济43,未济22,乾卦64;
艮卦10,同人48,大有62,震卦37,谦卦09,鼎卦30,革卦47,豫卦05;
萃卦07,观卦04,临卦49,升卦25,蛊卦26,困卦23,井卦27,随卦39;
明夷41,坎卦19,离卦46,晋卦06,咸卦15,大壮61,遯卦16,恒卦29;
需卦59,节卦51,涣卦20,讼卦24,兑卦55,师卦17,比卦03,巽卦28;
否卦08,渐卦12,归妹53,泰卦57,丰卦45,履卦56,小畜60,旅卦14;
噬嗑38,姤卦32,夬卦63,贲卦42,益卦36,剥卦02,复卦33,损卦50;
大过31,家人44,睽卦54,颐卦34,蹇卦11,大畜58,无妄40,解卦21。

(六)行列求和
有了序数方阵,我们开始计算。
(1)横向计算
第一行,和为52+18+35+13+01+43+22+64=248。
第二行,和为10+48+62+37+09+30+47+05=248。
第三行,和为07+04+49+25+26+23+27+39=200。
第四行,和为41+19+46+06+15+61+16+29=233。
第五行,和为59+51+20+24+55+17+03+28=257。
第六行,和为08+12+53+57+45+56+60+14=305。
第七行,和为38+32+63+42+36+02+33+50=296。
第八行,和为31+44+54+34+11+58+40+21=293。
总和为248+248+200+233+257+305+296+293=2080。

(2)纵向计算
第一列,和为52+10+07+41+59+08+38+31=246。
第二列,和为18+48+04+19+51+12+32+44=228。
第三列,和为35+62+49+46+20+53+63+54=382。
第四列,和为13+37+25+06+24+57+42+34=238。
第五列,和为01+09+26+15+55+45+36+11=198。
第六列,和为43+30+23+61+17+56+02+58=290。
第七列,和为22+47+27+16+03+60+33+40=248。
第八列,和为64+05+39+29+28+14+50+21=250。
总和为246+228+382+238+198+290+248+250=2080。

(七)黄金分割
我们用Ω表示黄金比率,先建立部分与总体之间的关系式,然后解出Ω的值。控制范围为0.617<Ω<0.619。如此,误差一般在千分之一以内。

(1)行的结构
①第一行+第二行+第六行+第七行=总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四层次黄金分割
验算:第一行+第二行+第六行+第七行=248+248+305+296=1097,总和=2080,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω=1097÷2080=0.5274……
这是一个四次方程,解出Ω= 0.6178……

②第三行+第四行+第五行+第八行=总和×Ω×Ω×Ω×2,第三层次黄金分割
验算:第三行+第四行+第五行+第八行=200+233+257+293=983,总和=2080,
Ω×Ω×Ω= 983÷2÷2080=0.2362……
然后开立方,解出Ω= 0.6182……

(2)列的结构
①第二列+第三列+第五列+第六列=总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四层次黄金分割
验算:第二列+第三列+第五列+第六列=228+382+198+290=1098,总和=2080,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω= 1098÷2080=0.5278……
这是一个四次方程,解出Ω= 0.61804……

②第一列+第四列+第七列+第八列=总和×Ω×Ω×Ω×2,第三层次黄金分割
验算:第一列+第四列+第七列+第八列=246+238+248+250=982,总和=2080,
Ω×Ω×Ω= 982÷2÷2080=0.2360……
然后开立方,解出Ω= 0.61802……
我们注意到,列的分割精度较高,所得结果与黄金比率Ω=0.6180339……比较,误差小于十万分之一。

总体而言,行与列,包含有如下相同的模式。
总和=(总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω)+总和×Ω×Ω×Ω×2

依照“续三”中的术语,我们由杨辉易数图变化出的卦象序数方阵,是一个奇异黄金方阵。

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