算术漫谈:从《道德经》到黄金分割(十二)

九数


【正见网2019年06月16日】

承接前文,我们继续演算。

我们的《道德经》主题,写完这篇,就全部结束了。

首先说一下,我们在整体上的布局。我们安排了十幅图,划分为五组,每组包含相关的两幅图。
●初步设想,文(一);
○基本数据,文(二);
①卍字符阵(佛家),文(三);
②太极图阵(道家),文(四);
③洛书方阵(洋人),文(五);
④洛书方阵(洋人),文(六);
⑤螺旋方阵(向内),文(七);
⑥螺旋方阵(向外),文(八);
⑦层累方阵(单边),文(九);
⑧层累方阵(双边),文(十);
⑨马步方阵(向内),文(十一);
⑩马步方阵(向外),文(十二)。

九数将自己最喜欢的一个马步方阵,放在了最后的这篇短文。我们将看到,此图极精妙,计算所得的黄金比率,精度较高,大体都是{0.6179,0.6180,0.6181}。

(一)基本数据
【一一】通行本老子《道德经》,第01章,正文总计59个汉字;
【一二】通行本老子《道德经》,第02章,正文总计88个汉字;
【一三】通行本老子《道德经》,第03章,正文总计67个汉字;
【一四】通行本老子《道德经》,第04章,正文总计42个汉字;
【一五】通行本老子《道德经》,第05章,正文总计45个汉字;
【一六】通行本老子《道德经》,第06章,正文总计25个汉字;
【一七】通行本老子《道德经》,第07章,正文总计49个汉字;
【一八】通行本老子《道德经》,第08章,正文总计50个汉字;
【一九】通行本老子《道德经》,第09章,正文总计39个汉字;
【二一】通行本老子《道德经》,第10章,正文总计69个汉字;
【二二】通行本老子《道德经》,第11章,正文总计49个汉字;
【二三】通行本老子《道德经》,第12章,正文总计49个汉字;
【二四】通行本老子《道德经》,第13章,正文总计81个汉字;
【二五】通行本老子《道德经》,第14章,正文总计94个汉字;
【二六】通行本老子《道德经》,第15章,正文总计97个汉字;
【二七】通行本老子《道德经》,第16章,正文总计67个汉字;
【二八】通行本老子《道德经》,第17章,正文总计44个汉字;
【二九】通行本老子《道德经》,第18章,正文总计26个汉字;
【三一】通行本老子《道德经》,第19章,正文总计45个汉字;
【三二】通行本老子《道德经》,第20章,正文总计132个汉字;
【三三】通行本老子《道德经》,第21章,正文总计71个汉字;
【三四】通行本老子《道德经》,第22章,正文总计78个汉字;
【三五】通行本老子《道德经》,第23章,正文总计88个汉字;
【三六】通行本老子《道德经》,第24章,正文总计47个汉字;
【三七】通行本老子《道德经》,第25章,正文总计85个汉字;
【三八】通行本老子《道德经》,第26章,正文总计47个汉字;
【三九】通行本老子《道德经》,第27章,正文总计91个汉字;
【四一】通行本老子《道德经》,第28章,正文总计86个汉字;
【四二】通行本老子《道德经》,第29章,正文总计58个汉字;
【四三】通行本老子《道德经》,第30章,正文总计75个汉字;
【四四】通行本老子《道德经》,第31章,正文总计117个汉字;
【四五】通行本老子《道德经》,第32章,正文总计71个汉字;
【四六】通行本老子《道德经》,第33章,正文总计38个汉字;
【四七】通行本老子《道德经》,第34章,正文总计61个汉字;
【四八】通行本老子《道德经》,第35章,正文总计43个汉字;
【四九】通行本老子《道德经》,第36章,正文总计56个汉字;
【五一】通行本老子《道德经》,第37章,正文总计50个汉字;
【五二】通行本老子《道德经》,第38章,正文总计129个汉字;
【五三】通行本老子《道德经》,第39章,正文总计134个汉字;
【五四】通行本老子《道德经》,第40章,正文总计21个汉字;
【五五】通行本老子《道德经》,第41章,正文总计95个汉字;
【五六】通行本老子《道德经》,第42章,正文总计73个汉字;
【五七】通行本老子《道德经》,第43章,正文总计39个汉字;
【五八】通行本老子《道德经》,第44章,正文总计39个汉字;
【五九】通行本老子《道德经》,第45章,正文总计40个汉字;
【六一】通行本老子《道德经》,第46章,正文总计39个汉字;
【六二】通行本老子《道德经》,第47章,正文总计36个汉字;
【六三】通行本老子《道德经》,第48章,正文总计40个汉字;
【六四】通行本老子《道德经》,第49章,正文总计64个汉字;
【六五】通行本老子《道德经》,第50章,正文总计80个汉字;
【六六】通行本老子《道德经》,第51章,正文总计72个汉字;
【六七】通行本老子《道德经》,第52章,正文总计72个汉字;
【六八】通行本老子《道德经》,第53章,正文总计52个汉字;
【六九】通行本老子《道德经》,第54章,正文总计91个汉字;
【七一】通行本老子《道德经》,第55章,正文总计81个汉字;
【七二】通行本老子《道德经》,第56章,正文总计66个汉字;
【七三】通行本老子《道德经》,第57章,正文总计88个汉字;
【七四】通行本老子《道德经》,第58章,正文总计70个汉字;
【七五】通行本老子《道德经》,第59章,正文总计64个汉字;
【七六】通行本老子《道德经》,第60章,正文总计48个汉字;
【七七】通行本老子《道德经》,第61章,正文总计82个汉字;
【七八】通行本老子《道德经》,第62章,正文总计80个汉字;
【七九】通行本老子《道德经》,第63章,正文总计79个汉字;
【八一】通行本老子《道德经》,第64章,正文总计125个汉字;
【八二】通行本老子《道德经》,第65章,正文总计69个汉字;
【八三】通行本老子《道德经》,第66章,正文总计76个汉字;
【八四】通行本老子《道德经》,第67章,正文总计99个汉字;
【八五】通行本老子《道德经》,第68章,正文总计43个汉字;
【八六】通行本老子《道德经》,第69章,正文总计54个汉字;
【八七】通行本老子《道德经》,第70章,正文总计47个汉字;
【八八】通行本老子《道德经》,第71章,正文总计28个汉字;
【八九】通行本老子《道德经》,第72章,正文总计45个汉字;
【九一】通行本老子《道德经》,第73章,正文总计64个汉字;
【九二】通行本老子《道德经》,第74章,正文总计59个汉字;
【九三】通行本老子《道德经》,第75章,正文总计53个汉字;
【九四】通行本老子《道德经》,第76章,正文总计57个汉字;
【九五】通行本老子《道德经》,第77章,正文总计79个汉字;
【九六】通行本老子《道德经》,第78章,正文总计64个汉字;
【九七】通行本老子《道德经》,第79章,正文总计40个汉字;
【九八】通行本老子《道德经》,第80章,正文总计75个汉字;
【九九】通行本老子《道德经》,第81章,正文总计57个汉字。

我们抄录的老子《道德经》通行本,九九八十一章,各章正文总计5287个汉字。

(二)马步方阵
与前文一样,我们构造一个马步方阵。
■,■,■,■,■,■,■,■,■
■,■,■,■,■,■,■,■,■
■,■,□,□,□,□,□,■,■
■,■,□,□,□,□,□,■,■
■,■,□,□,◎,□,□,■,■
■,■,□,□,□,□,□,■,■
■,■,□,□,□,□,□,■,■
■,■,■,■,■,■,■,■,■
■,■,■,■,■,■,■,■,■

我们考虑从轴心起跳,按照顺时针方向排列{01,02,03,……,79,80,81}。由前文可知,这81个数划分为内圈和外圈。内圈布列25个数,外圈布列56个数。

首先,在内圈布满前25个数{01,02,……,25}。
■,■,■,■,■,■,■,■,■
■,■,■,■,■,■,■,■,■
■,■,19,14,09,04,21,■,■
■,■,08,03,20,15,10,■,■
■,■,13,18,01,22,05,■,■
■,■,02,07,24,11,16,■,■
■,■,25,12,17,06,23,■,■
■,■,■,■,■,■,■,■,■
■,■,■,■,■,■,■,■,■

接下来,在外圈布满剩下的56个数{26,27,……,81}。
69,56,43,30,71,58,45,32,73
42,29,70,57,44,31,72,59,46
55,68,□,□,□,□,□,74,33
28,41,□,□,□,□,□,47,60
67,54,□,□,◎,□,□,34,75
40,27,□,□,□,□,□,61,48
53,66,□,□,□,□,□,76,35
26,39,80,51,64,37,78,49,62
81,52,65,38,79,50,63,36,77

现在,我们有了完整的九行九列数字方阵。
69,56,43,30,71,58,45,32,73
42,29,70,57,44,31,72,59,46
55,68,19,14,09,04,21,74,33
28,41,08,03,20,15,10,47,60
67,54,13,18,01,22,05,34,75
40,27,02,07,24,11,16,61,48
53,66,25,12,17,06,23,76,35
26,39,80,51,64,37,78,49,62
81,52,65,38,79,50,63,36,77

(三)章节排列
第69章,第56章,第43章,第30章,第71章,第58章,第45章,第32章,第73章
第42章,第29章,第70章,第57章,第44章,第31章,第72章,第59章,第46章
第55章,第68章,第19章,第14章,第09章,第04章,第21章,第74章,第33章
第28章,第41章,第08章,第03章,第20章,第15章,第10章,第47章,第60章
第67章,第54章,第13章,第18章,第01章,第22章,第05章,第34章,第75章
第40章,第27章,第02章,第07章,第24章,第11章,第16章,第61章,第48章
第53章,第66章,第25章,第12章,第17章,第06章,第23章,第76章,第35章
第26章,第39章,第80章,第51章,第64章,第37章,第78章,第49章,第62章
第81章,第52章,第65章,第38章,第79章,第50章,第63章,第36章,第77章

(四)字数方阵
054,066,039,075,028,070,040,071,064
073,058,047,088,039,117,045,064,039
081,043,045,094,039,042,071,059,038
086,095,050,067,132,097,069,036,048
099,091,081,026,059,078,045,061,053
021,091,088,049,047,049,067,082,040
052,076,085,049,044,025,088,057,043
047,134,075,072,125,050,064,064,080
057,072,069,129,040,080,079,056,079

(五)纵横求和
(1)列和计算
第一列,和为054+073+081+086+099+021+052+047+057=570;
第二列,和为066+058+043+095+091+091+076+134+072=726;
第三列,和为039+047+045+050+081+088+085+075+069=579;
第四列,和为075+088+094+067+026+049+049+072+129=649;
第五列,和为028+039+039+132+059+047+044+125+040=553;
第六列,和为070+117+042+097+078+049+025+050+080=608;
第七列,和为040+045+071+069+045+067+088+064+079=568;
第八列,和为071+064+059+036+061+082+057+064+056=550;
第九列,和为064+039+038+048+053+040+043+080+079=484。
总和为570+726+579+649+553+608+568+550+484=5287。

(2)行和计算
第一行,和为054+066+039+075+028+070+040+071+064=507;
第二行,和为073+058+047+088+039+117+045+064+039=570;
第三行,和为081+043+045+094+039+042+071+059+038=512;
第四行,和为086+095+050+067+132+097+069+036+048=680;
第五行,和为099+091+081+026+059+078+045+061+053=593;
第六行,和为021+091+088+049+047+049+067+082+040=534;
第七行,和为052+076+085+049+044+025+088+057+043=519;
第八行,和为047+134+075+072+125+050+064+064+080=711;
第九行,和为057+072+069+129+040+080+079+056+079=661。
总和为507+570+512+680+593+534+519+711+661=5287。

(六)黄金分割
我们用Ω表示黄金比率,先建立部分与总体之间的关系式,然后解出Ω的值。控制范围为0.617<Ω<0.619。如此,误差一般在千分之一以内。

(1)行的结构
①第二行+第四行+第六行+第八行=总和×Ω×Ω×Ω×2,第三层次黄金分割
验算:第二行+第四行+第六行+第八行
=570+680+534+711=2495,总和=5287,
Ω×Ω×Ω=2495÷2÷5287=0.2359……
然后开立方,解出Ω=0.6179……

②第一行+第三行+第五行+第七行+第九行=总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四层次黄金分割
验算:第一行+第三行+第五行+第七行+第九行
=507+512+593+519+661=2792,总和=5287,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω=2792÷5287=0.5280……
这是一个四次方程,解出Ω=0.6181……

③第三行+第四行+第五行+第八行=总和×Ω×Ω×Ω×2,第三层次黄金分割
验算:第三行+第四行+第五行+第八行
=512+680+593+711=2496,总和=5287,
Ω×Ω×Ω=2496÷2÷5287=0.2360……
然后开立方,解出Ω=0.6180……

④第一行+第二行+第六行+第七行+第九行=总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四层次黄金分割
验算:第一行+第二行+第六行+第七行+第九行
=507+570+534+519+661=2791,总和=5287,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω=2791÷5287=0.5278……
这是一个四次方程,解出Ω=0.6180……

(2)列的结构
①第二列+第四列+第五列+第七列=总和×Ω×Ω×Ω×2,第三层次黄金分割
验算:第二列+第四列+第五列+第七列
=726+649+553+568=2496,总和=5287,
Ω×Ω×Ω=2496÷2÷5287=0.2360……
然后开立方,解出Ω=0.6180……

②第一列+第三列+第六列+第八列+第九列=总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四层次黄金分割
验算:第一列+第三列+第六列+第八列+第九列
=570+579+608+550+484=2791,总和=5287,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω=2791÷5287=0.5278……
这是一个四次方程,解出Ω=0.6180……

③第一列+第二列+第四列+第八列=总和×Ω×Ω×Ω×2,第三层次黄金分割
验算:第一列+第二列+第四列+第八列
=570+726+649+550=2495,总和=5287,
Ω×Ω×Ω=2495÷2÷5287=0.2359……
然后开立方,解出Ω=0.6179……

④第三列+第五列+第六列+第七列+第九列=总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四层次黄金分割
验算:第三列+第五列+第六列+第七列+第九列
=579+553+608+568+484=2792,总和=5287,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω=2792÷5287=0.5280……
这是一个四次方程,解出Ω=0.6181……

总体而言,行与列,包含有如下完全相同的模式。
总和
=总和×Ω×Ω×Ω×2+(总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω)
依照前面短文中的术语,这是一个标准黄金方阵。

(全文完)

 

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