算术漫谈:从《道德经》到黄金分割(五)

九数


【正见网2019年04月23日】

承接前文,我们继续演算。

洛书,也叫九宫数,是最小规模的幻方。
四九二
三五七
八一六

所谓幻方,说的是一种特殊的正方形数表。假令正方形数表的规模是n行n列,要求数表中,每行的n个数之和,每列的n个数之和,以及主、副对角线上各自的n个数之和,全都相等。

横为行:4+9+2=3+5+7=8+1+6=15;
纵为列:4+3+8=9+5+1=2+7+6=15;
斜对角:4+5+6=2+5+8=15。

为了简单起见,构造幻方的时候,人们一般选取从1开始的若干个连续自然数,将其布列在正方形数表中。在这样的约束条件下,数表中最大的一个数,总是象9、16、25、36、49、64、81这样的平方数。

南宋算学家杨辉,是历史上第一个系统的探讨洛书河图的数学原理的人。他考虑了洛书河图各种有趣的推广形式,当时称之为纵横图。今天的人们,已经很少用纵横图这个名词了,改称为幻方。相比而言,纵横图重在对形制的描述,幻方强调了奇幻的数学特性。

在过去的短文中,我们总是选取中国人的纵横图研究成果。实际上,杨辉的成果,也流传到了中国以外的地方。历史上,有不少洋人,也非常喜欢研究幻方。这次的《道德经》主题中,我们改为采用洋人的研究成果,借此表彰洋人对中国文化的发扬光大。

(一)基本数据
【一一】通行本老子《道德经》,第01章,正文总计59个汉字;
【一二】通行本老子《道德经》,第02章,正文总计88个汉字;
【一三】通行本老子《道德经》,第03章,正文总计67个汉字;
【一四】通行本老子《道德经》,第04章,正文总计42个汉字;
【一五】通行本老子《道德经》,第05章,正文总计45个汉字;
【一六】通行本老子《道德经》,第06章,正文总计25个汉字;
【一七】通行本老子《道德经》,第07章,正文总计49个汉字;
【一八】通行本老子《道德经》,第08章,正文总计50个汉字;
【一九】通行本老子《道德经》,第09章,正文总计39个汉字;
【二一】通行本老子《道德经》,第10章,正文总计69个汉字;
【二二】通行本老子《道德经》,第11章,正文总计49个汉字;
【二三】通行本老子《道德经》,第12章,正文总计49个汉字;
【二四】通行本老子《道德经》,第13章,正文总计81个汉字;
【二五】通行本老子《道德经》,第14章,正文总计94个汉字;
【二六】通行本老子《道德经》,第15章,正文总计97个汉字;
【二七】通行本老子《道德经》,第16章,正文总计67个汉字;
【二八】通行本老子《道德经》,第17章,正文总计44个汉字;
【二九】通行本老子《道德经》,第18章,正文总计26个汉字;
【三一】通行本老子《道德经》,第19章,正文总计45个汉字;
【三二】通行本老子《道德经》,第20章,正文总计132个汉字;
【三三】通行本老子《道德经》,第21章,正文总计71个汉字;
【三四】通行本老子《道德经》,第22章,正文总计78个汉字;
【三五】通行本老子《道德经》,第23章,正文总计88个汉字;
【三六】通行本老子《道德经》,第24章,正文总计47个汉字;
【三七】通行本老子《道德经》,第25章,正文总计85个汉字;
【三八】通行本老子《道德经》,第26章,正文总计47个汉字;
【三九】通行本老子《道德经》,第27章,正文总计91个汉字;
【四一】通行本老子《道德经》,第28章,正文总计86个汉字;
【四二】通行本老子《道德经》,第29章,正文总计58个汉字;
【四三】通行本老子《道德经》,第30章,正文总计75个汉字;
【四四】通行本老子《道德经》,第31章,正文总计117个汉字;
【四五】通行本老子《道德经》,第32章,正文总计71个汉字;
【四六】通行本老子《道德经》,第33章,正文总计38个汉字;
【四七】通行本老子《道德经》,第34章,正文总计61个汉字;
【四八】通行本老子《道德经》,第35章,正文总计43个汉字;
【四九】通行本老子《道德经》,第36章,正文总计56个汉字;
【五一】通行本老子《道德经》,第37章,正文总计50个汉字;
【五二】通行本老子《道德经》,第38章,正文总计129个汉字;
【五三】通行本老子《道德经》,第39章,正文总计134个汉字;
【五四】通行本老子《道德经》,第40章,正文总计21个汉字;
【五五】通行本老子《道德经》,第41章,正文总计95个汉字;
【五六】通行本老子《道德经》,第42章,正文总计73个汉字;
【五七】通行本老子《道德经》,第43章,正文总计39个汉字;
【五八】通行本老子《道德经》,第44章,正文总计39个汉字;
【五九】通行本老子《道德经》,第45章,正文总计40个汉字;
【六一】通行本老子《道德经》,第46章,正文总计39个汉字;
【六二】通行本老子《道德经》,第47章,正文总计36个汉字;
【六三】通行本老子《道德经》,第48章,正文总计40个汉字;
【六四】通行本老子《道德经》,第49章,正文总计64个汉字;
【六五】通行本老子《道德经》,第50章,正文总计80个汉字;
【六六】通行本老子《道德经》,第51章,正文总计72个汉字;
【六七】通行本老子《道德经》,第52章,正文总计72个汉字;
【六八】通行本老子《道德经》,第53章,正文总计52个汉字;
【六九】通行本老子《道德经》,第54章,正文总计91个汉字;
【七一】通行本老子《道德经》,第55章,正文总计81个汉字;
【七二】通行本老子《道德经》,第56章,正文总计66个汉字;
【七三】通行本老子《道德经》,第57章,正文总计88个汉字;
【七四】通行本老子《道德经》,第58章,正文总计70个汉字;
【七五】通行本老子《道德经》,第59章,正文总计64个汉字;
【七六】通行本老子《道德经》,第60章,正文总计48个汉字;
【七七】通行本老子《道德经》,第61章,正文总计82个汉字;
【七八】通行本老子《道德经》,第62章,正文总计80个汉字;
【七九】通行本老子《道德经》,第63章,正文总计79个汉字;
【八一】通行本老子《道德经》,第64章,正文总计125个汉字;
【八二】通行本老子《道德经》,第65章,正文总计69个汉字;
【八三】通行本老子《道德经》,第66章,正文总计76个汉字;
【八四】通行本老子《道德经》,第67章,正文总计99个汉字;
【八五】通行本老子《道德经》,第68章,正文总计43个汉字;
【八六】通行本老子《道德经》,第69章,正文总计54个汉字;
【八七】通行本老子《道德经》,第70章,正文总计47个汉字;
【八八】通行本老子《道德经》,第71章,正文总计28个汉字;
【八九】通行本老子《道德经》,第72章,正文总计45个汉字;
【九一】通行本老子《道德经》,第73章,正文总计64个汉字;
【九二】通行本老子《道德经》,第74章,正文总计59个汉字;
【九三】通行本老子《道德经》,第75章,正文总计53个汉字;
【九四】通行本老子《道德经》,第76章,正文总计57个汉字;
【九五】通行本老子《道德经》,第77章,正文总计79个汉字;
【九六】通行本老子《道德经》,第78章,正文总计64个汉字;
【九七】通行本老子《道德经》,第79章,正文总计40个汉字;
【九八】通行本老子《道德经》,第80章,正文总计75个汉字;
【九九】通行本老子《道德经》,第81章,正文总计57个汉字。

我们抄录的老子《道德经》通行本,九九八十一章,各章正文总计5287个汉字。

(二)洛书方阵
下面介绍的九阶幻方,出自一位洋人。洋人学习、研究中国文化,也是一把好手。数表中所包含的构造方法,非常著名,适合所有奇数阶的情形,因而广为流传。
中国人,自古以来,喜欢在道术承传中采用歌诀。洋人的幻方成果,回传中国,又被咱们中国人变成了几句歌诀。
一居上行正中央,依次斜填切莫忘;
上出框时放下填,右出框时左边放;
排重便在下格填,右上排重一个样。

47,58,69,80,01,12,23,34,45;
57,68,79,09,11,22,33,44,46;
67,78,08,10,21,32,43,54,56;
77,07,18,20,31,42,53,55,66;
06,17,19,30,41,52,63,65,76;
16,27,29,40,51,62,64,75,05;
26,28,39,50,61,72,74,04,15;
36,38,49,60,71,73,03,14,25;
37,48,59,70,81,02,13,24,35。

(1)行和计算
第一行,和为47+58+69+80+01+12+23+34+45=369;
第二行,和为57+68+79+09+11+22+33+44+46=369;
第三行,和为67+78+08+10+21+32+43+54+56=369;
第四行,和为77+07+18+20+31+42+53+55+66=369;
第五行,和为06+17+19+30+41+52+63+65+76=369;
第六行,和为16+27+29+40+51+62+64+75+05=369;
第七行,和为26+28+39+50+61+72+74+04+15=369;
第八行,和为36+38+49+60+71+73+03+14+25=369;
第九行,和为37+48+59+70+81+02+13+24+35=369。

(2)列和计算
第一列,和为47+57+67+77+06+16+26+36+37=369;
第二列,和为58+68+78+07+17+27+28+38+48=369;
第三列,和为69+79+08+18+19+29+39+49+59=369;
第四列,和为80+09+10+20+30+40+50+60+70=369;
第五列,和为01+11+21+31+41+51+61+71+81=369;
第六列,和为12+22+32+42+52+62+72+73+02=369;
第七列,和为23+33+43+53+63+64+74+03+13=369;
第八列,和为34+44+54+55+65+75+04+14+24=369;
第九列,和为45+46+56+66+76+05+15+25+35=369。

(3)斜线计算
主对角线,和为47+68+08+20+41+62+74+14+35=369;
副对角线,和为45+44+43+42+41+40+39+38+37=369。

计算表明,这一数表,是一个标准的九阶幻方。观察数表,可知{01,41,81}的排列居中,规规整整。我们对此非常满意,因而选择了洋人的这一幻方成果。

(三)章节排列
第47章,第58章,第69章,第80章,第01章,第12章,第23章,第34章,第45章;
第57章,第68章,第79章,第09章,第11章,第22章,第33章,第44章,第46章;
第67章,第78章,第08章,第10章,第21章,第32章,第43章,第54章,第56章;
第77章,第07章,第18章,第20章,第31章,第42章,第53章,第55章,第66章;
第06章,第17章,第19章,第30章,第41章,第52章,第63章,第65章,第76章;
第16章,第27章,第29章,第40章,第51章,第62章,第64章,第75章,第05章;
第26章,第28章,第39章,第50章,第61章,第72章,第74章,第04章,第15章;
第36章,第38章,第49章,第60章,第71章,第73章,第03章,第14章,第25章;
第37章,第48章,第59章,第70章,第81章,第02章,第13章,第24章,第35章。

(四)字数方阵
036,070,054,075,059,049,088,061,040;
088,043,040,039,049,078,038,039,039;
099,064,050,069,071,071,039,091,066;
079,049,026,132,117,073,052,081,076;
025,044,045,075,095,072,079,069,057;
067,091,058,021,072,080,125,053,045;
047,086,134,080,082,045,059,042,097;
056,129,064,048,028,064,067,094,085;
050,040,064,047,057,088,081,047,043。

(五)纵横求和
(1)列和计算
第一列,和为036+088+099+079+025+067+047+056+050=547;
第二列,和为070+043+064+049+044+091+086+129+040=616;
第三列,和为054+040+050+026+045+058+134+064+064=535;
第四列,和为075+039+069+132+075+021+080+048+047=586;
第五列,和为059+049+071+117+095+072+082+028+057=630;
第六列,和为049+078+071+073+072+080+045+064+088=620;
第七列,和为088+038+039+052+079+125+059+067+081=628;
第八列,和为061+039+091+081+069+053+042+094+047=577;
第九列,和为040+039+066+076+057+045+097+085+043=548。
总和为547+616+535+586+630+620+628+577+548=5287。

(2)行和计算
第一行,和为036+070+054+075+059+049+088+061+040=532;
第二行,和为088+043+040+039+049+078+038+039+039=453;
第三行,和为099+064+050+069+071+071+039+091+066=620;
第四行,和为079+049+026+132+117+073+052+081+076=685;
第五行,和为025+044+045+075+095+072+079+069+057=561;
第六行,和为067+091+058+021+072+080+125+053+045=612;
第七行,和为047+086+134+080+082+045+059+042+097=672;
第八行,和为056+129+064+048+028+064+067+094+085=635;
第九行,和为050+040+064+047+057+088+081+047+043=517。
总和为532+453+620+685+561+612+672+635+517=5287。

(六)黄金分割
我们用Ω表示黄金比率,先建立部分与总体之间的关系式,然后解出Ω的值。控制范围为0.617<Ω<0.619。如此,误差一般在千分之一以内。

(1)行的结构
①第一行+第二行+第三行+第六行+第七行+第八行+第九行=总和×Ω×Ω×2,第二层次黄金分割
验算:第一行+第二行+第三行+第六行+第七行+第八行+第九行
=532+453+620+612+672+635+517=4041,总和=5287,
Ω×Ω=4041÷2÷5287=0.3821……
然后开平方,解出Ω=0.6181……

②第四行+第五行=总和×Ω×Ω×Ω,第三层次黄金分割
验算:第四行+第五行
=685+561=1246,总和=5287,
Ω×Ω×Ω=1246÷5287=0.2356……
然后开立方,解出Ω=0.6176……

③第一行+第二行+第三行+第四行+第五行+第七行+第九行=总和×Ω×Ω×2,第二层次黄金分割
验算:第一行+第二行+第三行+第四行+第五行+第七行+第九行
=532+453+620+685+561+672+517=4040,总和=5287,
Ω×Ω=4040÷2÷5287=0.3820……
然后开平方,解出Ω=0.6181……

④第六行+第八行=总和×Ω×Ω×Ω,第三层次黄金分割
验算:第六行+第八行
=612+635=1247,总和=5287,
Ω×Ω×Ω=1247÷5287=0.2358……
然后开立方,解出Ω=0.6178……

⑤第四行+第五行+第六行+第八行=总和×Ω×Ω×Ω×2,第三层次黄金分割
验算:第四行+第五行+第六行+第八行
=685+561+612+635=2493,总和=5287,
Ω×Ω×Ω=2493÷2÷5287=0.2357……
然后开立方,解出Ω=0.6177……

⑥第一行+第二行+第三行+第七行+第九行=总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四层次黄金分割
验算:第一行+第二行+第三行+第七行+第九行
=532+453+620+672+517=2794,总和=5287,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω=2794÷5287=0.5284……
这是一个四次方程,解出Ω=0.6183……

(2)列的结构
①第一列+第三列+第四列+第六列+第七列+第八列+第九列=总和×Ω×Ω×2,第二层次黄金分割
验算:第一列+第三列+第四列+第六列+第七列+第八列+第九列
=547+535+586+620+628+577+548=4041,总和=5287,
Ω×Ω=4041÷2÷5287=0.3821……
然后开平方,解出Ω=0.6181……

②第二列+第五列=总和×Ω×Ω×Ω,第三层次黄金分割
验算:第二列+第五列=616+630=1246,总和=5287,
Ω×Ω×Ω=1246÷5287=0.2356……
然后开立方,解出Ω=0.6176……

③第一列+第二列+第三列+第四列+第五列+第八列+第九列=总和×Ω×Ω×2,第二层次黄金分割
验算:第一列+第二列+第三列+第四列+第五列+第八列+第九列
=547+616+535+586+630+577+548=4039,总和=5287,
Ω×Ω=4039÷2÷5287=0.3819……
然后开平方,解出Ω=0.6180……

④第六列+第七列=总和×Ω×Ω×Ω,第三层次黄金分割
验算:第六列+第七列=620+628=1248,总和=5287,
Ω×Ω×Ω=1248÷5287=0.2360……
然后开立方,解出Ω=0.6180……

⑤第二列+第五列+第六列+第七列=总和×Ω×Ω×Ω×2,第三层次黄金分割
验算:第二列+第五列+第六列+第七列
=616+630+620+628=2494,总和=5287,
Ω×Ω×Ω=2494÷2÷5287=0.2358……
然后开立方,解出Ω=0.6178……

⑥第一列+第三列+第四列+第八列+第九列=总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四层次黄金分割
验算:第一列+第三列+第四列+第八列+第九列
=547+535+586+577+548=2793,总和=5287,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω=2793÷5287=0.5282……
这是一个四次方程,解出Ω=0.6182……

总体而言,我们观察到:行与列,包含有如下两种不同的模式。
总和
=总和×Ω×Ω×2+总和×Ω×Ω×Ω
=总和×Ω×Ω×Ω×2+(总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω)
依照前面短文中的术语,这是一个标准黄金方阵。

 

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