算术漫谈:《周易》卦序与黄金分割(续十三)

九数


【正见网2015年11月22日】

图论是具有应用价值的一门数学,起源于一些趣味游戏问题。瑞士人欧拉,是十八世纪最杰出的数学家。欧拉获得的早期图论研究成果,使得他被称为图论奠基人。欧拉在研究棋盘跳马时,获得了一个有趣的马步方阵。

这篇短文中,九数将《周易》卦序置换作用于欧拉的马步方阵,得到一个八行八列的卦序方阵;然后,我们对卦序方阵作一点计算,观察卦序方阵蕴涵的黄金分割现象。结果表明,欧拉方阵在《周易》卦序置换的作用下,演化为一个奇异黄金方阵。

(一)《周易》卦序
我们记录通行本《周易》卦序,书分上下二篇。以“上经”与“下经”标记。

上经:乾卦第一,坤卦第二,屯卦第三,蒙卦第四,需卦第五,讼卦第六,师卦第七,比卦第八,小畜第九,履卦第十,泰卦第十一,否卦第十二,同人第十三,大有第十四,谦卦第十五,豫卦第十六,随卦第十七,蛊卦第十八,临卦第十九,观卦第二十,噬嗑第二十一,贲卦第二十二,剥卦第二十三,复卦第二十四,无妄第二十五,大畜第二十六,颐卦第二十七,大过第二十八,坎卦第二十九,离卦第三十。

下经:咸卦第三十一,恒卦第三十二,遯卦第三十三,大壮第三十四,晋卦第三十五,明夷第三十六,家人第三十七,睽卦第三十八,蹇卦第三十九,解卦第四十,损卦第四十一,益卦第四十二,夬卦第四十三,姤卦第四十四,萃卦第四十五,升卦第四十六,困卦第四十七,井卦第四十八,革卦第四十九,鼎卦第五十,震卦第五十一,艮卦第五十二,渐卦第五十三,归妹第五十四,丰卦第五十五,旅卦第五十六,巽卦第五十七,兑卦第五十八,涣卦第五十九,节卦第六十,中孚第六十一,小过第六十二,既济第六十三,未济第六十四。

(二)邵雍方图
北宋理学家邵雍,有先天六十四卦方图传世。
坤卦01,剥卦02,比卦03,观卦04,豫卦05,晋卦06,萃卦07,否卦08;
谦卦09,艮卦10,蹇卦11,渐卦12,小过13,旅卦14,咸卦15,遯卦16;
师卦17,蒙卦18,坎卦19,涣卦20,解卦21,未济22,困卦23,讼卦24;
升卦25,蛊卦26,井卦27,巽卦28,恒卦29,鼎卦30,大过31,姤卦32;
复卦33,颐卦34,屯卦35,益卦36,震卦37,噬嗑38,随卦39,无妄40;
明夷41,贲卦42,既济43,家人44,丰卦45,离卦46,革卦47,同人48;
临卦49,损卦50,节卦51,中孚52,归妹53,睽卦54,兑卦55,履卦56;
泰卦57,大畜58,需卦59,小畜60,大壮61,大有62,夬卦63,乾卦64。

(三)遍历棋盘
图论历史上,有一个有趣的“周游世界”问题,最初被称为“骑士周游世界”。这个问题,是在国际象棋棋盘上表述的。

【问题】在八行八列的国际象棋棋盘上,象棋中的马(又称骑士),能否从某个格子出发,不重复的跳遍所有的六十四个格子,最后回到起点?
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西元1757年,欧拉在写给哥德巴赫的一封信中,给出了骑士周游世界问题的一种解法。
两年后,欧拉专门发表了讨论各种棋盘的骑士周游世界问题的论文。

(四)欧拉方阵
在研究骑士周游世界问题的过程中,欧拉得到了一个有趣的八阶方阵。
01, 48, 31, 50, 33, 16, 63, 18;
30, 51, 46, 03, 62, 19, 14, 35;
47, 02, 49, 32, 15, 34, 17, 64;
52, 29, 04, 45, 20, 61, 36, 13;
05, 44, 25, 56, 09, 40, 21, 60;
28, 53, 08, 41, 24, 57, 12, 37;
43, 06, 55, 26, 39, 10, 59, 22;
54, 27, 42, 07, 58, 23, 38, 11。

这个八阶方阵,有两个最显著的特点。
其一,按照01→02→03→……→63→64的线路走完,恰好每一步都符合国际象棋棋盘上跳马的规则。而且,□格子中摆放的都是单数,■格子中摆放的都是双数。
其二,按照南宋杨辉纵横图的要求,正好符合洛书模式,纵横斜三个方向八数等和。每行和为260,每列和为260,每条对角线和为260。

(五)卦象排列
我们将欧拉方阵中的数字,按照邵雍方图,置换为卦象,得到一个八行八列的卦象方阵。
坤卦, 同人, 大过, 损卦, 复卦, 遯卦, 夬卦, 蒙卦;
鼎卦, 节卦, 离卦, 比卦, 大有, 坎卦, 旅卦, 屯卦;
革卦, 剥卦, 临卦, 姤卦, 咸卦, 颐卦, 师卦, 乾卦;
中孚, 恒卦, 观卦, 丰卦, 涣卦, 大壮, 益卦, 小过;
豫卦, 家人, 升卦, 履卦, 谦卦, 无妄, 解卦, 小畜;
巽卦, 归妹, 否卦, 明夷, 讼卦, 泰卦, 渐卦, 震卦;
既济, 晋卦, 兑卦, 蛊卦, 随卦, 艮卦, 需卦, 未济;
睽卦, 井卦, 贲卦, 萃卦, 大畜, 困卦, 噬嗑, 蹇卦。

(六)序数方阵
有了卦象方阵,我们将《周易》卦序数字抄写在卦名旁边,得到一个八行八列的序数方阵。
坤卦02, 同人13, 大过28, 损卦41, 复卦24, 遯卦33, 夬卦43, 蒙卦04;
鼎卦50, 节卦60, 离卦30, 比卦08, 大有14, 坎卦29, 旅卦56, 屯卦03;
革卦49, 剥卦23, 临卦19, 姤卦44, 咸卦31, 颐卦27, 师卦07, 乾卦01;
中孚61, 恒卦32, 观卦20, 丰卦55, 涣卦59, 大壮34, 益卦42, 小过62;
豫卦16, 家人37, 升卦46, 履卦10, 谦卦15, 无妄25, 解卦40, 小畜09;
巽卦57, 归妹54, 否卦12, 明夷36, 讼卦06, 泰卦11, 渐卦53, 震卦51;
既济63, 晋卦35, 兑卦58, 蛊卦18, 随卦17, 艮卦52, 需卦05, 未济64;
睽卦38, 井卦48, 贲卦22, 萃卦45, 大畜26, 困卦47, 噬嗑21, 蹇卦39。

(七)行列求和
接下来,我们对序数方阵作一点计算。
(1)横向计算
第一行,和为02+13+28+41+24+33+43+04=188。
第二行,和为50+60+30+08+14+29+56+03=250。
第三行,和为49+23+19+44+31+27+07+01=201。
第四行,和为61+32+20+55+59+34+42+62=365。
第五行,和为16+37+46+10+15+25+40+09=198。
第六行,和为57+54+12+36+06+11+53+51=280。
第七行,和为63+35+58+18+17+52+05+64=312。
第八行,和为38+48+22+45+26+47+21+39=286。
总和为188+250+201+365+198+280+312+286=2080。

(2)纵向计算
第一列,和为02+50+49+61+16+57+63+38=336。
第二列,和为13+60+23+32+37+54+35+48=302。
第三列,和为28+30+19+20+46+12+58+22=235。
第四列,和为41+08+44+55+10+36+18+45=257。
第五列,和为24+14+31+59+15+06+17+26=192。
第六列,和为33+29+27+34+25+11+52+47=258。
第七列,和为43+56+07+42+40+53+05+21=267。
第八列,和为04+03+01+62+09+51+64+39=233。
总和为336+302+235+257+192+258+267+233=2080。

(八)黄金分割
我们用Ω表示黄金比率,先建立部分与总体之间的关系式,然后解出Ω的值。控制范围为0.617<Ω<0.619。如此,误差一般在千分之一以内。

(1)行的结构
①第一行+第二行+第三行+第四行+第六行=总和×Ω,第一层次黄金分割
验算:第一行+第二行+第三行+第四行+第六行= 188+250+201+365+280=1284,总和=2080,
解出Ω=1284÷2080=0.6173……

②第五行+第七行+第八行=总和×Ω×Ω,第二层次黄金分割
验算:第五行+第七行+第八行= 198+312+286=796,总和=2080,
Ω×Ω= 796÷2080=0.3826……
然后开平方,解出Ω= 0.6186……

③第二行+第三行+第四行+第六行=总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四层次黄金分割
验算:第二行+第三行+第四行+第六行=250+201+365+280=1096,总和=2080,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω= 1096÷2080 =0.5269……
这是一个四次方程,解出Ω= 0.6176……

④第一行=总和×Ω×Ω×Ω×Ω×Ω,第五层次黄金分割
验算:第一行=188,总和=2080,
Ω×Ω×Ω×Ω×Ω=188÷2080= 0.0903……
然后开五次方,解出Ω= 0.6183……

(2)列的结构
①第一列+第四列+第五列+第七列+第八列=总和×Ω,第一层次黄金分割
验算:第一列+第四列+第五列+第七列+第八列=336+257+192+267+233=1285,总和=2080,
解出Ω= 1285÷2080=0.6177……

②第二列+第三列+第六列=总和×Ω×Ω,第二层次黄金分割
验算:第二列+第三列+第六列=,总和=2080,
Ω×Ω=795÷2080= 0.3822……
然后开平方,解出Ω= 0.6182……

总体而言,行与列,包含有如下两种分割模式。
总和
=总和×Ω+总和×Ω×Ω
=总和×Ω×Ω+(总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω)+总和×Ω×Ω×Ω×Ω×Ω

依照“续三”中的术语,这是一个奇异黄金方阵。

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