算术漫谈:《周易》卦序与黄金分割(续十五)

九数


【正见网2015年11月27日】

这篇短文,九数依照北宋理学家邵雍的观点,将六十四卦排列为一个封闭的圆环。然后,将《周易》卦序作为卦象与数字之间的一个映射。在此基础上,我们作一点关于黄金分割的计算。

(一)《周易》卦序
我们记录通行本《周易》卦序,书分上下二篇。以“上经”与“下经”标记。上经记录三十卦,下经记录三十四卦。

【上经】
乾卦第一,坤卦第二,屯卦第三,蒙卦第四,需卦第五,讼卦第六,师卦第七,比卦第八,小畜第九,履卦第十,泰卦第十一,否卦第十二,同人第十三,大有第十四,谦卦第十五,豫卦第十六,随卦第十七,蛊卦第十八,临卦第十九,观卦第二十,噬嗑第二十一,贲卦第二十二,剥卦第二十三,复卦第二十四,无妄第二十五,大畜第二十六,颐卦第二十七,大过第二十八,坎卦第二十九,离卦第三十。

【下经】
咸卦第三十一,恒卦第三十二,遯卦第三十三,大壮第三十四,晋卦第三十五,明夷第三十六,家人第三十七,睽卦第三十八,蹇卦第三十九,解卦第四十,损卦第四十一,益卦第四十二,夬卦第四十三,姤卦第四十四,萃卦第四十五,升卦第四十六,困卦第四十七,井卦第四十八,革卦第四十九,鼎卦第五十,震卦第五十一,艮卦第五十二,渐卦第五十三,归妹第五十四,丰卦第五十五,旅卦第五十六,巽卦第五十七,兑卦第五十八,涣卦第五十九,节卦第六十,中孚第六十一,小过第六十二,既济第六十三,未济第六十四。

(二)邵雍圆图
北宋理学家邵雍,有先天六十四卦圆图传世。

(为了阅读方便,有兴趣的读者,可以自己画图,或者在书上、网络上找图。)

此图从乾卦开始,按照逆时针旋转,顺次排布六十四卦。从乾卦→……→复卦,为左半圈;从坤卦→……→姤卦,为右半圈。左半圈,右半圈,各包含三十二卦。
乾卦→夬卦→大有→大壮→小畜→需卦→大畜→泰卦→履卦→兑卦→睽卦→归妹→中孚→节卦→损卦→临卦→同人→革卦→离卦→丰卦→家人→既济→贲卦→明夷→无妄→随卦→噬嗑→震卦→益卦→屯卦→颐卦→复卦→坤卦→剥卦→比卦→观卦→豫卦→晋卦→萃卦→否卦→谦卦→艮卦→蹇卦→渐卦→小过→旅卦→咸卦→遯卦→师卦→蒙卦→坎卦→涣卦→解卦→未济→困卦→讼卦→升卦→蛊卦→井卦→巽卦→恒卦→鼎卦→大过→姤卦。

(三)序数圆环
(1)逆行环布
乾卦01→夬卦43→大有14→大壮34→小畜09→需卦05→大畜26→泰卦11→
履卦10→兑卦58→睽卦38→归妹54→中孚61→节卦60→损卦41→临卦19→
同人13→革卦49→离卦30→丰卦55→家人37→既济63→贲卦22→明夷36→
无妄25→随卦17→噬嗑21→震卦51→益卦42→屯卦03→颐卦27→复卦24→
坤卦02→剥卦23→比卦08→观卦20→豫卦16→晋卦35→萃卦45→否卦12→
谦卦15→艮卦52→蹇卦39→渐卦53→小过62→旅卦56→咸卦31→遯卦33→
师卦07→蒙卦04→坎卦29→涣卦59→解卦40→未济64→困卦47→讼卦06→
升卦46→蛊卦18→井卦48→巽卦57→恒卦32→鼎卦50→大过28→姤卦44。

(2)周期循环
乾卦01→夬卦43→大有14→大壮34→小畜09→需卦05→大畜26→泰卦11→
履卦10→兑卦58→睽卦38→归妹54→中孚61→节卦60→损卦41→临卦19→
同人13→革卦49→离卦30→丰卦55→家人37→既济63→贲卦22→明夷36→
无妄25→随卦17→噬嗑21→震卦51→益卦42→屯卦03→颐卦27→复卦24→
坤卦02→剥卦23→比卦08→观卦20→豫卦16→晋卦35→萃卦45→否卦12→
谦卦15→艮卦52→蹇卦39→渐卦53→小过62→旅卦56→咸卦31→遯卦33→
师卦07→蒙卦04→坎卦29→涣卦59→解卦40→未济64→困卦47→讼卦06→
升卦46→蛊卦18→井卦48→巽卦57→恒卦32→鼎卦50→大过28→姤卦44→(开始循环)
乾卦01→夬卦43→大有14→大壮34→小畜09→需卦05→大畜26→泰卦11→
履卦10→兑卦58→睽卦38→归妹54→中孚61→节卦60→损卦41→临卦19→
同人13→革卦49→离卦30→丰卦55→家人37→既济63→贲卦22→明夷36→
无妄25→随卦17→噬嗑21→震卦51→益卦42→屯卦03→颐卦27→复卦24→
坤卦02→剥卦23→比卦08→观卦20→豫卦16→晋卦35→萃卦45→否卦12→
谦卦15→艮卦52→蹇卦39→渐卦53→小过62→旅卦56→咸卦31→遯卦33→
师卦07→蒙卦04→坎卦29→涣卦59→解卦40→未济64→困卦47→讼卦06→
升卦46→蛊卦18→井卦48→巽卦57→恒卦32→鼎卦50→大过28→姤卦44→……

(四)复与颐断
(1)基本结构
[复卦24→坤卦02→剥卦23→比卦08→观卦20→豫卦16→晋卦35→萃卦45→否卦12→谦卦15→艮卦52→蹇卦39→渐卦53→小过62→旅卦56→咸卦31]→[遯卦33→师卦07→蒙卦04→坎卦29→涣卦59→解卦40→未济64→困卦47→讼卦06→升卦46→蛊卦18→井卦48→巽卦57→恒卦32]→[鼎卦50→大过28→姤卦44→{乾卦01→夬卦43→大有14→大壮34→小畜09→需卦05→大畜26→泰卦11→履卦10→兑卦58→睽卦38→归妹54}→中孚61→节卦60→损卦41→临卦19]→[同人13→革卦49→离卦30→丰卦55→家人37→既济63→贲卦22→明夷36→无妄25→随卦17→噬嗑21→震卦51→益卦42→屯卦03→颐卦27]→……

(2)简化形式
[复卦24→……→咸卦31]→[遯卦33→……→恒卦32]→[鼎卦50→……→临卦19]→[同人13→……→颐卦27]
注意,从鼎卦逆时针转到临卦,中间隐藏着一条子链,{乾卦01→……→归妹54}。

(3)分段求和
①从复卦逆时针转到咸卦,和为493
24+02+23+08+20+16+35+45+12+15+52+39+53+62+56+31=493

②从遯卦逆时针转到恒卦,和为490
33+07+04+29+59+40+64+47+06+46+18+48+57+32=490

③从鼎卦逆时针转到临卦,和为606
50+28+44+01+43+14+34+09+05+26+11+10+58+38+54+61+60+41+19=606

④从同人逆时针转到颐卦,和为491
13+49+30+55+37+63+22+36+25+17+21+51+42+03+27=491

总和=493+490+606+491=2080

(五)黄金分割
(1)从鼎卦逆时针转到咸卦=总和×Ω×Ω×2,第二层次黄金分割
验算:从鼎卦逆时针转到咸卦=606+491+493=1590,总和=2080,
Ω×Ω=1590÷2÷2080=0.3822……
然后开平方,解出Ω=0.6177……

(2)从遯卦逆时针转到颐卦=总和×Ω×Ω×2,第二层次黄金分割
验算:从遯卦逆时针转到颐卦=490+606+491=1587,总和=2080,
Ω×Ω=1587÷2÷2080=0.3814……
然后开平方,解出Ω=0.6176……

(3)从复卦逆时针转到临卦=总和×Ω×Ω×2,第二层次黄金分割
验算:从复卦逆时针转到临卦=493+490+606=1589,总和=2080,
Ω×Ω=1589÷2÷2080=0.3819……
然后开平方,解出Ω=0.61803……
这一组,精度极高。与黄金比率Ω=0.6180339……比较,误差不到十万分之一。

(4)从复卦逆时针转到咸卦=总和×Ω×Ω×Ω,第三层次黄金分割
验算:从复卦逆时针转到咸卦=493,总和=2080,
Ω×Ω×Ω=493÷2080=0.2370……
然后开立方,解出Ω=0.6188……

(5)从遯卦逆时针转到恒卦=总和×Ω×Ω×Ω,第三层次黄金分割
验算:从遯卦逆时针转到恒卦=490,总和=2080,
Ω×Ω×Ω=490÷2080=0.2355……
然后开立方,解出Ω=0.6176……

(6)从同人逆时针转到颐卦=总和×Ω×Ω×Ω,第三层次黄金分割
验算:从同人逆时针转到颐卦=491,总和=2080,
Ω×Ω×Ω=491÷2080=0.2360……
然后开立方,解出Ω=0.61802……
这一组,精度极高。与黄金比率Ω=0.6180339……比较,误差不到十万分之一。

(7)从复卦逆时针转到恒卦=总和×Ω×Ω×Ω×2,第三层次黄金分割
验算:从复卦逆时针转到恒卦=493+490=983,总和=2080,
Ω×Ω×Ω=983÷2÷2080=0.2362……
然后开立方,解出Ω=0.6182……

(8)从同人逆时针转到恒卦=总和×Ω×Ω×Ω×3,第三层次黄金分割
验算:从同人逆时针转到恒卦=491+493+490=1474,总和=2080,
Ω×Ω×Ω=1474÷3÷2080=0.2362……
然后开立方,解出Ω=0.6181……

(9)从鼎卦逆时针转到临卦=总和×Ω×Ω×Ω×Ω×2,第四层次黄金分割
验算:从鼎卦逆时针转到临卦=606,总和=2080,
Ω×Ω×Ω×Ω=606÷2÷2080=0.1456……
然后开四次方,解出Ω=0.6177……

(10)从乾卦逆时针转到归妹=总和×Ω×Ω×Ω×Ω,第四层次黄金分割
验算:从乾卦逆时针转到归妹=303,总和=2080,
Ω×Ω×Ω×Ω=303÷2080=0.1456……
然后开四次方,解出Ω=0.6177……
需要指出的是,(10)中的链条,隐藏在(9)中。

(六)复与颐连
我们注意到,从复卦起始,到颐卦终结,可以得到第三层次黄金分割,也可以得到第四层次黄金分割。但是,得不到第一、二层次黄金分割。
如何弥补这个缺陷呢?非常有趣的是,我们发现让颐卦与复卦相连就可以了。

(1)基本结构
[颐卦27→复卦24→坤卦02→剥卦23→比卦08→观卦20→豫卦16→晋卦35→萃卦45→否卦12→谦卦15→艮卦52→蹇卦39→渐卦53→小过62→旅卦56]→[咸卦31→遯卦33→师卦07→蒙卦04→坎卦29→涣卦59→解卦40→未济64→困卦47→讼卦06→升卦46→蛊卦18→井卦48→巽卦57]→[恒卦32→鼎卦50→大过28→姤卦44→乾卦01→夬卦43→大有14→{大壮34→小畜09→需卦05→大畜26→泰卦11]→[履卦10]→[兑卦58→睽卦38→归妹54→中孚61→节卦60→损卦41→临卦19→同人13→革卦49→离卦30→丰卦55→家人37→既济63→贲卦22→明夷36→无妄25→随卦17→噬嗑21}→震卦51→益卦42]→[屯卦03]

(2)简化形式
[颐卦27→复卦24→……→旅卦56]→[咸卦31→……→巽卦57]→[恒卦32→……→泰卦11]→[履卦10]→[兑卦58→……→益卦42]→[屯卦03]
注意,从恒卦逆时针转到益卦,中间隐藏着一条子链,{大壮34→……→噬嗑21}。

(3)分段求和
①从颐卦逆时针转到旅卦,和为489
27+24+02+23+08+20+16+35+45+12+15+52+39+53+62+56=489

②从咸卦逆时针转到巽卦,和为489
31+33+07+04+29+59+40+64+47+06+46+18+48+57=489

③从恒卦逆时针转到泰卦,和为297
32+50+28+44+01+43+14+34+09+05+26+11=297

④履卦独立,和为10

⑤从兑卦逆时针转到益卦,和为792
58+38+54+61+60+41+19+13+49+30+55+37+63+22+36+25+17+21+51+42=792

⑥屯卦独立,和为03

(七)黄金分割
①从颐卦逆时针转到履卦=总和×Ω,第一层次黄金分割
验算:从颐卦逆时针转到履卦=489+489+297+10=1285,总和=2080,
解出Ω=1285÷2080=0.6177……

②从兑卦逆时针转到屯卦=总和×Ω×Ω,第二层次黄金分割
验算:从兑卦逆时针转到屯卦=792+3=795,总和=2080,
Ω×Ω=795÷2080=0.3822……
然后开平方,解出Ω=0.6182……

③从兑卦逆时针转到旅卦=总和×Ω,第一层次黄金分割
验算:从兑卦逆时针转到旅卦=792+3+489=1284,总和=2080,
解出Ω=1284÷2080=0.6173……

④从咸卦逆时针转到履卦=总和×Ω×Ω,第二层次黄金分割
验算:从咸卦逆时针转到履卦=489+297+10=796,总和=2080,
Ω×Ω=796÷2080=0.3826……
然后开平方,解出Ω=0.6186……

⑤从震卦逆时针转到大有=总和×Ω,第一层次黄金分割
验算:从震卦逆时针转到大有=1286,总和=2080,
解出Ω=1286÷2080=0.6182……

⑥从大壮逆时针转到噬嗑=总和×Ω×Ω,第二层次黄金分割
验算:从大壮逆时针转到噬嗑=794,总和=2080,
Ω×Ω=794÷2080=0.3817……
然后开平方,解出Ω=0.6178……

⑦从屯卦逆时针转到巽卦=总和×Ω×Ω×Ω×2,第三层次黄金分割
验算:从屯卦逆时针转到巽卦=3+489+489=981,总和=2080,
Ω×Ω=981÷2÷2080=0.2358……
然后开平方,解出Ω=0.6178……

⑧从恒卦逆时针转到益卦=总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四层次黄金分割
验算:从恒卦逆时针转到益卦=297+10+792=1099,总和=2080,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω=1099÷2080=0.5283……
这是一个四次方程,解出Ω=0.6182……

最后,我们总结一下本文所记录的两种计算方式。
总和
=总和×Ω+总和×Ω×Ω
=总和×Ω×Ω×Ω×3+总和×Ω×Ω×Ω×Ω×2
=总和×Ω×Ω×Ω×2+(总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω)

①复颐相断
此种情形,实现了第三、四层次的黄金分割,在精度上有突破。误差最小时,大约为十万分之一。
②颐复相连
此种情形,实现了第一、二层次黄金分割,精度一般。
 

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