【正见网2015年11月12日】
南宋算学家杨辉，过去多次出现在我们的漫谈中。他是世界上第一个把洛书九宫图作为算学研究对象的人，由此发展出纵横图的学问。直到今天，在中国乃至世界上，仍然有许多喜爱纵横图的人们。
这篇短文中，九数给大家揭示一个沉潜七百年的奥秘。当年杨辉留下的“易数图”，在《周易》卦序置换的作用下，变化为一个奇异黄金方阵。
需要指出的是，将纵横图与《周易》卦序结合起来，这是大陆研究者十几年来一直在尝试的方向。非常幸运的是，我们终于取得了突破。九数相信，这些同道人一定会在正见网上找到他们所需要的。
（一）《周易》卦序
我们记录通行本《周易》卦序，书分上下二篇。以“上经”与“下经”标记。
上经：乾卦第一，坤卦第二，屯卦第三，蒙卦第四，需卦第五，讼卦第六，师卦第七，比卦第八，小畜第九，履卦第十，泰卦第十一，否卦第十二，同人第十三，大有第十四，谦卦第十五，豫卦第十六，随卦第十七，蛊卦第十八，临卦第十九，观卦第二十，噬嗑第二十一，贲卦第二十二，剥卦第二十三，复卦第二十四，无妄第二十五，大畜第二十六，颐卦第二十七，大过第二十八，坎卦第二十九，离卦第三十。
下经：咸卦第三十一，恒卦第三十二，遯卦第三十三，大壮第三十四，晋卦第三十五，明夷第三十六，家人第三十七，睽卦第三十八，蹇卦第三十九，解卦第四十，损卦第四十一，益卦第四十二，夬卦第四十三，姤卦第四十四，萃卦第四十五，升卦第四十六，困卦第四十七，井卦第四十八，革卦第四十九，鼎卦第五十，震卦第五十一，艮卦第五十二，渐卦第五十三，归妹第五十四，丰卦第五十五，旅卦第五十六，巽卦第五十七，兑卦第五十八，涣卦第五十九，节卦第六十，中孚第六十一，小过第六十二，既济第六十三，未济第六十四。
（二）邵雍方图
北宋理学家邵雍，有先天六十四卦方图传世。
坤卦01，剥卦02，比卦03，观卦04，豫卦05，晋卦06，萃卦07，否卦08；
谦卦09，艮卦10，蹇卦11，渐卦12，小过13，旅卦14，咸卦15，遯卦16；
师卦17，蒙卦18，坎卦19，涣卦20，解卦21，未济22，困卦23，讼卦24；
升卦25，蛊卦26，井卦27，巽卦28，恒卦29，鼎卦30，大过31，姤卦32；
复卦33，颐卦34，屯卦35，益卦36，震卦37，噬嗑38，随卦39，无妄40；
明夷41，贲卦42，既济43，家人44，丰卦45，离卦46，革卦47，同人48；
临卦49，损卦50，节卦51，中孚52，归妹53，睽卦54，兑卦55，履卦56；
泰卦57，大畜58，需卦59，小畜60，大壮61，大有62，夬卦63，乾卦64。
（三）杨辉易数
（1）易数阳图
杨辉留下的纵横图中，有两幅名为易数图，其中一个叫阳图，一个叫阴图。我们这里记录的是阳图。
61,04,03,62,02,63,64,01；
52,13,14,51,15,50,49,16；
45,20,19,46,18,47,48,17；
36,29,30,35,31,34,33,32；
05,60,59,06,58,07,08,57；
12,53,54,11,55,10,09,56；
21,44,43,22,42,23,24,41；
28,37,38,27,39,26,25,40。
（2）三线等和
与洛书相似，这个八行八列的方阵，具有纵、横、斜三线等和的特性。每行八个数的和是260，每列八个数的和是260，对角线上八个数和也是260。
[1]横向计算
第一行，和为61+04+03+62+02+63+64+01=260。
第二行，和为52+13+14+51+15+50+49+16=260。
第三行，和为45+20+19+46+18+47+48+17=260。
第四行，和为36+29+30+35+31+34+33+32=260。
第五行，和为05+60+59+06+58+07+08+57=260。
第六行，和为12+53+54+11+55+10+09+56=260。
第七行，和为21+44+43+22+42+23+24+41=260。
第八行，和为28+37+38+27+39+26+25+40=260。
[2]纵向计算
第一列，和为61+52+45+36+05+12+21+28=260。
第二列，和为04+13+20+29+60+53+44+37=260。
第三列，和为03+14+19+30+59+54+43+38=260。
第四列，和为62+51+46+35+06+11+22+27=260。
第五列，和为02+15+18+31+58+55+42+39=260。
第六列，和为63+50+47+34+07+10+23+26=260。
第七列，和为64+49+48+33+08+09+24+25=260。
第八列，和为01+16+17+32+57+56+41+40=260。
[3]斜向计算
主对角线，和为61+13+19+35+58+10+24+40=260。
副对角线，和为01+49+47+31+06+54+44+28=260。
有兴趣了解南宋算学家杨辉的朋友，可以查阅大陆出版的《中国数学史大系》。
（四）卦象方阵
我们将杨辉易数图中的数字，按照邵雍方图，置换为卦象，得到一个八行八列的卦象方阵。
大壮，观卦，比卦，大有，剥卦，夬卦，乾卦，坤卦；
中孚，小过，旅卦，节卦，咸卦，损卦，临卦，遯卦；
丰卦，涣卦，坎卦，离卦，蒙卦，革卦，同人，师卦；
益卦，恒卦，鼎卦，屯卦，大过，颐卦，复卦，姤卦；
豫卦，小畜，需卦，晋卦，大畜，萃卦，否卦，泰卦；
渐卦，归妹，睽卦，蹇卦，兑卦，艮卦，谦卦，履卦；
解卦，家人，既济，未济，贲卦，困卦，讼卦，明夷；
巽卦，震卦，噬嗑，井卦，随卦，蛊卦，升卦，无妄。
（五）序数方阵
有了卦象方阵，我们将《周易》卦序数字抄写在卦名旁边，得到一个八行八列的序数方阵。
大壮34，观卦20，比卦08，大有14，剥卦23，夬卦43，乾卦01，坤卦02；
中孚61，小过62，旅卦56，节卦60，咸卦31，损卦41，临卦19，遯卦33；
丰卦55，涣卦59，坎卦29，离卦30，蒙卦04，革卦49，同人13，师卦07；
益卦42，恒卦32，鼎卦50，屯卦03，大过28，颐卦27，复卦24，姤卦44；
豫卦16，小畜09，需卦05，晋卦35，大畜26，萃卦45，否卦12，泰卦11；
渐卦53，归妹54，睽卦38，蹇卦39，兑卦58，艮卦52，谦卦15，履卦10；
解卦40，家人37，既济63，未济64，贲卦22，困卦47，讼卦06，明夷36；
巽卦57，震卦51，噬嗑21，井卦48，随卦17，蛊卦18，升卦46，无妄25。
（六）行列求和
有了序数方阵，我们开始计算。
（1）横向计算
第一行，和为34+20+08+14+23+43+01+02=145。
第二行，和为61+62+56+60+31+41+19+33=363。
第三行，和为55+59+29+30+04+49+13+07=246。
第四行，和为42+32+50+03+28+27+24+44=250。
第五行，和为16+09+05+35+26+45+12+11=159。
第六行，和为53+54+38+39+58+52+15+10=319。
第七行，和为40+37+63+64+22+47+06+36=315。
第八行，和为57+51+21+48+17+18+46+25=283。
总和为145+363+246+250+159+319+315+283=2080。
（2）纵向计算
第一列，和为34+61+55+42+16+53+40+57=358。
第二列，和为20+62+59+32+09+54+37+51=324。
第三列，和为08+56+29+50+05+38+63+21=270。
第四列，和为14+60+30+03+35+39+64+48=293。
第五列，和为23+31+04+28+26+58+22+17=209。
第六列，和为43+41+49+27+45+52+47+18=322。
第七列，和为01+19+13+24+12+15+06+46=136。
第八列，和为02+33+07+44+11+10+36+25=168。
总和为358+324+270+293+209+322+136+168=2080。
（七）黄金分割
我们用Ω表示黄金比率，先建立部分与总体之间的关系式，然后解出Ω的值。控制范围为0.617<Ω<0.619。如此，误差一般在千分之一以内。
（1）行的结构
①第一行+第二行+第三行+第四行+第八行=总和×Ω，第一层次黄金分割
验算：第一行+第二行+第三行+第四行+第八行=1287，总和=2080，
解出Ω=1287÷2080=0.6187……
②第五行+第六行+第七行=总和×Ω×Ω，第二层次黄金分割
验算：第五行+第六行+第七行=793，总和=2080，
Ω×Ω=793÷2080=0.3812……
然后开平方，解出Ω=0.6174……
③第一行+第五行=总和×Ω×Ω×Ω×Ω，第四层次黄金分割
验算：第一行+第五行=304，总和=2080，
Ω×Ω×Ω×Ω=304÷2080=0.1461……
然后开四次方，解出Ω=0.6183……
（2）列的结构
①第二列+第四列+第五列+第六列+第七列=总和×Ω，第一层次黄金分割
验算：第二列+第四列+第五列+第六列+第七列=1284，总和=2080，
解出Ω=1284÷2080=0.6173……
②第一列+第三列+第八列=总和×Ω×Ω，第二层次黄金分割
验算：第一列+第三列+第八列=796，总和=2080，
Ω×Ω=796÷2080=0.3826……
然后开平方，解出Ω=0.6186……
③第二列+第八列=总和×Ω×Ω×Ω，第三层次黄金分割
验算：第二列+第八列=492，总和=2080，
Ω×Ω×Ω=492÷2080=0.2365……
然后开立方，解出Ω= 0.6184……
④第七列+第八列=总和×Ω×Ω×Ω×Ω，第四层次黄金分割
验算：第七列+第八列=304，总和=2080，
Ω×Ω×Ω×Ω=304÷2080= 0.1461……
然后开四次方，解出Ω= 0.6183……
依照“续三”中的术语，我们由杨辉易数图变化出的卦象序数方阵，是一个奇异黄金方阵。
