算术漫谈:《周易》卦序与黄金分割(续五)

九数


【正见网2015年10月21日】

在“续三”中,我们说过,将要给出一些黄金方阵的古典实例。在“续四”中,我们给出了一条金色之线,贯穿着不同时期的一些方阵。非常有趣的是,所有这些存世的“著名”方阵,全部都可以在我们的“戏法”作用下,变化为黄金方阵。这可真是出人意料。

京房(西元前77年—前37年),西汉学者,本姓李,字君明。京房治易学,师从焦延寿,有京氏易传存世。据《汉书·京房传》记载,焦延寿预见到了京房以易干政的危险,曾说:“得我道以亡身者,京生也。”

这篇短文,九数采用西汉易学家京房的观点,将六十四卦排列为八行八列的方阵。然后,将《周易》卦序作为卦象与数字之间的一个映射。在此基础上,我们作一点关于黄金分割的计算。计算结果表明,京房八宫是非常优雅的一种卦象坐标系。我们知道,流传于世的主要术数门类——纳甲筮法,即是采用此种学说。

(一)《周易》卦序
我们记录通行本《周易》卦序,书分上下二篇。以“上经”与“下经”标记。上经记录三十卦,下经记录三十四卦。

【上经】
乾卦第一,坤卦第二,屯卦第三,蒙卦第四,
需卦第五,讼卦第六,师卦第七,比卦第八,
小畜第九,履卦第十,泰卦第十一,否卦第十二,
同人第十三,大有第十四,谦卦第十五,豫卦第十六,
随卦第十七,蛊卦第十八,临卦第十九,观卦第二十,
噬嗑第二十一,贲卦第二十二,剥卦第二十三,复卦第二十四,
无妄第二十五,大畜第二十六,颐卦第二十七,大过第二十八,
坎卦第二十九,离卦第三十。

【下经】
咸卦第三十一,恒卦第三十二,遯卦第三十三,大壮第三十四,
晋卦第三十五,明夷第三十六,家人第三十七,睽卦第三十八,
蹇卦第三十九,解卦第四十,损卦第四十一,益卦第四十二,
夬卦第四十三,姤卦第四十四,萃卦第四十五,升卦第四十六,
困卦第四十七,井卦第四十八,革卦第四十九,鼎卦第五十,
震卦第五十一,艮卦第五十二,渐卦第五十三,归妹第五十四,
丰卦第五十五,旅卦第五十六,巽卦第五十七,兑卦第五十八,
涣卦第五十九,节卦第六十,中孚第六十一,小过第六十二,
既济第六十三,未济第六十四。

(二)京房八宫
西汉易学家京房,创立了八宫学说。他将六十四卦分为乾,震,坎,艮,坤,巽,离,兑八宫。八宫中,每宫包含八个卦象。

【乾宫】乾卦,姤卦,遯卦,否卦,观卦,剥卦,晋卦,大有
【震宫】震卦,豫卦,解卦,恒卦,升卦,井卦,大过,随卦
【坎宫】坎卦,节卦,屯卦,既济,革卦,丰卦,明夷,师卦
【艮宫】艮卦,贲卦,大畜,损卦,睽卦,履卦,中孚,渐卦
【坤宫】坤卦,复卦,临卦,泰卦,大壮,夬卦,需卦,比卦
【巽宫】巽卦,小畜,家人,益卦,无妄,噬嗑,颐卦,蛊卦
【离宫】离卦,旅卦,鼎卦,未济,蒙卦,涣卦,讼卦,同人
【兑宫】兑卦,困卦,萃卦,咸卦,蹇卦,谦卦,小过,归妹

(三)序数方阵
我们将六十四卦在《周易》卦序中的序数代入京房八宫中,得出一个由序数构成的八行八列方阵。实际上,京房八宫可以视为一种特殊的卦象坐标系。
□□□:第一列, 第二列,第三列, 第四列,第五列, 第六列,第七列, 第八列
第一行:乾卦01,姤卦44,遯卦33,否卦12,观卦20,剥卦23,晋卦35,大有14
第二行:震卦51,豫卦16,解卦40,恒卦32,升卦46,井卦48,大过28,随卦17
第三行:坎卦29,节卦60,屯卦03,既济63,革卦49,丰卦55,明夷36,师卦07
第四行:艮卦52,贲卦22,大畜26,损卦41,睽卦38,履卦10,中孚61,渐卦53
第五行:坤卦02,复卦24,临卦19,泰卦11,大壮34,夬卦43,需卦05,比卦08
第六行:巽卦57,小畜09,家人37,益卦42,无妄25,噬嗑21,颐卦27,蛊卦18
第七行:离卦30,旅卦56,鼎卦50,未济64,蒙卦04,涣卦59,讼卦06,同人13
第八行:兑卦58,困卦47,萃卦45,咸卦31,蹇卦39,谦卦15,小过62,归妹54

(四)纵横求和
(1)行和计算
第一行,和为01+44+33+12+20+23+35+14=182。
第二行,和为51+16+40+32+46+48+28+17=278。
第三行,和为29+60+03+63+49+55+36+07=302。
第四行,和为52+22+26+41+38+10+61+53=303。
第五行,和为02+24+19+11+34+43+05+08=146。
第六行,和为57+09+37+42+25+21+27+18=236。
第七行,和为30+56+50+64+04+59+06+13=282。
第八行,和为58+47+45+31+39+15+62+54=351。
总和为182+278+302+303+146+236+282+351=2080。

(2)列和计算
第一列,和为01+51+29+52+02+57+30+58=280。
第二列,和为44+16+60+22+24+09+56+47=278。
第三列,和为33+40+03+26+19+37+50+45=253。
第四列,和为12+32+63+41+11+42+64+31=296。
第五列,和为20+46+49+38+34+25+04+39=255。
第六列,和为23+48+55+10+43+21+59+15=274。
第七列,和为35+28+36+61+05+27+06+62=260。
第八列,和为14+17+07+53+08+18+13+54=184。
总和为280+278+253+296+255+274+260+184=2080。

(五)黄金分割
我们用Ω表示黄金比率,先建立部分与总体之间的关系式,然后解出Ω的值。控制范围为0.617<Ω<0.619。如此,误差一般在千分之一以内。

(1)行的结构
①第一行+第三行+第四行+第五行+第八行=总和×Ω,第一层次黄金分割
验算:第一行+第三行+第四行+第五行+第八行=182+302+303+146+351=1284,总和=2080,
解出Ω=1284÷2080=0.6173……

②第二行+第六行+第七行=总和×Ω×Ω,第二层次黄金分割
验算:第二行+第六行+第七行=278+236+282=796,总和=2080,
Ω×Ω=796÷2080=0.3826……
然后开平方,解出Ω=0.6186……

③第一行+第三行+第五行+第八行=总和×Ω×Ω×Ω×2,第三层次黄金分割
验算:第一行+第三行+第五行+第八行=182+302+146+351=981,总和=2080,
Ω×Ω×Ω=981÷2÷2080=0.2358……
然后开立方,解出Ω=0.6178……

④第四行=总和×Ω×Ω×Ω×Ω,第四层次黄金分割
验算:第四行=303,总和=2080,
Ω×Ω×Ω×Ω=303÷2080=0.1456……
然后开四次方,解出Ω=0.6177……

(2)列的结构
①第二列+第三列+第四列+第六列+第八列=总和×Ω,第一层次黄金分割
验算:第二列+第三列+第四列+第六列+第八列=278+253+296+274+184=1285,总和=2080,
解出Ω=1285÷2080=0.6177……

②第一列+第五列+第七列=总和×Ω×Ω,第二层次黄金分割
验算:第一列+第五列+第七列=280+255+260=795,总和=2080,
Ω×Ω=795÷2080=0.3822……
然后开平方,解出Ω=0.6182……
我们注意到,行的结构与列的结构相比,要复杂一些。

总体而言,行与列,包含有如下两种不同的模式。
总和
=总和×Ω+总和×Ω×Ω
=总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×2+总和×Ω×Ω×Ω×Ω
依照“续三”中的术语,这是一个奇异黄金方阵。

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