算术漫谈:洛书与十進制计数体系

历史上一直流传的洛书,本身没有任何数字,只有圆点。从圆点形式,到中文数字形式,最后到今天的阿拉伯数字形式,看上去越来越简略,要记录这个图式所需的书写量越来越少。但是,形式越接近今天的人,也越容易被今天人的观念所局限。

这篇正好是第十篇,我们就来谈点与十有关的话题吧。洛书只有九数,不过相对两数之和都是十。看上去,洛书与十连系密切。

我们前面作算术,写了许多数字计算的实例。仔细想一下,发现洛书本身并没有提供数的進位制表示。这样看的话,洛书与十進制计数体系没有固定的连系。我们用十進制计数体系,完全是因为今天的人类用的是这个计数体系。历史上,玛雅人采用的是二十進制计数体系。更古的时候,有的民族采用了六十進制计数体系。这些计数体系下,人们看洛书,肯定会在自己的体系内作一番推演。

按照这个看法,我们前面写的那些数字计算,实际上都可以说成是数学公式。下面举一个例子说一下。

四九二
三五七
八一六

偶数圆周
正向取数:四九二七六一八三,二七六一八三四九,六一八三四九二七,八三四九二七六一。
反向取数:四三八一六七二九,八一六七二九四三,六七二九四三八一,二九四三八一六七。

数之和等
49276183+27618349+61834927+83492761=222222220
43816729+81672943+67294381+29438167=222222220

平方和等
49276183^2+27618349^2+61834927^2+83492761^2=13985514749033740
43816729^2+81672943^2+67294381^2+29438167^2=13985514749033740

立方和等
49276183^3+27618349^3+61834927^3+83492761^3=959177030199175157646100
43816729^3+81672943^3+67294381^3+29438167^3=959177030199175157646100

这只是计算提供的一个结果,结果表明加法等和现象存在。我们取数“四九二七六一八三”,接着表示为“49276183”,经过这个转换,進入了十進制计数体系。可是这个转换完全可以采用不同的计数体系。

这样看的话,我们取数,实际上是在给出下面“加法等和方程组”的一组解。
数之和等:a+b+c+d=e+f+g+h;
平方和等:a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2;
立方和等:a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3。

这里引用的“偶数圆周”的例子,可以看成是下面的形式。

a=4x_1+9x_2+2x_3+7x_4+6x_5+1x_6+8x_7+3x_8,
b=2x_1+7x_2+6x_3+1x_4+8x_5+3x_6+4x_7+9x_8,
c=6x_1+1x_2+8x_3+3x_4+4x_5+9x_6+2x_7+7x_8,
d=8x_1+3x_2+4x_3+9x_4+2x_5+7x_6+6x_7+1x_8,
e=4x_1+3x_2+8x_3+1x_4+6x_5+7x_6+2x_7+9x_8,
f=8x_1+1x_2+6x_3+7x_4+2x_5+9x_6+4x_7+3x_8,
g=6x_1+7x_2+2x_3+9x_4+4x_5+3x_6+8x_7+1x_8,
h=2x_1+9x_2+4x_3+3x_4+8x_5+1x_6+6x_7+7x_8。

其中x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8为参数。如果对参数选取某些数值代入,我们就進入了不同的计数体系。

对于加法等和方程组来说,我们写出这样的一组解并没有作任何“解方程”的事情,完全是由洛书的循环机制自动给我们提供的。

不同的文化,曾经都有自己的進位制计数体系,这似乎是个非常有意思的话题。玛雅人采用了二十進制计数体系,在他们的文化中,有关于一九九二年到二零一二年地球人类处于银河净化期的研究。

今天的人采用十進制计数体系,这个数字十容易让人想到十天干。还有的民族曾经采用过十二進制计数体系,这个体系或许与十二地支有关。至于采用六十進制计数体系的,那完全可以理解为六十甲子的一种表现。六十甲子同样有预测功能,比如一九四三年和二零零三年,相隔六十年。二零零三年是癸未年,萨斯病很厉害的。历史记载,一九四三年癸未年,北京霍乱流行。

虽说洛书与十進制计数体系没有固定的连系,我们仍然可以习惯于在十進制计数体系中生活,只是对计算中获得的结果要作广义的理解。这样才不会被十進制计数体系所局限。

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